Um in der Vektorrechnung der Mathematik verschiedene Beziehungen zwischen zwei Vektoren auszudrücken oder zu berechnen, wird häufig das Kreuzprodukt benötigt. Da dies nur im Teilgebiet der vektoriellen Rechnungen auftritt, wird es auch Vektorprodukt genannt.

Was ist das Vektorprodukt?

Das Vektorprodukt erhält man, wenn man durch ein kompliziert erscheinendes System von Multiplikationen und Subtraktionen mehrerer verschiedener Koordinaten der einzelnen Vektoren wieder einen Vektor erhält. Um dies vom Skalarprodukt, bei dem das Ergebnis eine skalare Größe ist, unterscheiden zu können, wird zwischen den zu multiplizierenden Vektoren ein Kreuz anstatt eines Punktes als Multiplikationszeichen verwendet. Das erhaltene Kreuzprodukt bildet den Vektor, der orthogonal auf den beiden “gekreuzten” Vektoren steht. Somit ist es der Normalenvektor der Ebene, die dessen beide Faktoren aufspannen. Die Länge des Kreuzprodukts, also der Betrag, entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms zwischen den multiplizierten Vektoren. Das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt und einem der Ursprungsvektoren ist immer null, da sie einen rechten Winkel einschließen.

Wie berechnet man das Kreuzprodukt?

Will man das Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum errechnen, so besteht jeder Vektor (a und b) aus den drei Koordinaten x, y und z. Man kann auch sagen, der Vektor a bestehe aus den Koordinaten ax, ay und az, der Vektor b aus bx, by und bz. Für das Kreuzprodukt subtrahiert man nun für dessen x-Wert die Koordinaten das Produkt von az und by von dem Produkt aus bz und ay. Für die y-Koordinate des Kreuzprodukts wird das Produkt aus ax und bz vom Produkt aus az und bx abgezogen. Für den z-Wert werden nun die übrigen Produkte von ax und by und dem von ay und bx miteinander subtrahiert. Vereinfacht heißt dies: x = aybz – azby; y = azbx – axbz; z = axby – aybx

Besondere Rechenverfahren

In Kombination des Kreuzproduktes der Vektoren A und B mit dem Skalarprodukt dieses Kreuzproduktes und einem weiteren Vektor C, erhält man das Spatprodukt der drei Vektoren. Dieses ist Maßzahl des Volumens des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats, auch bekannt als “schräger Quader” oder Parallelotop. Will man das Volumen der dreiseitigen Pyramide zwischen den drei Vektoren errechnen, wird das Spatprodukt durch sechs geteilt.

Gelegentlich erscheint im Bezug auf das Kreuzprodukt auch der Begriff “kartesisches Produkt“. Beide Bezeichnungen definieren jedoch nicht dasselbe mathematische Verfahren. Das kartesische Produkt ist lediglich die Kombination aller Mengen beider Faktoren miteinander. Somit beinhaltet das kartesische Produkt aus A mit x, y und z und B mit 1, 2 und 3 die Menge aller Kombinationen (x,1; x,2; x,3; y,1; y,2; y,3; z,1; z,2; z,3). Dieses Verfahren kann man sich ähnlich eines Schachbretts vorstellen, bei dem jeder Wert aus A mit jedem aus B verknüpft ist.