Einer der wichtigsten Bestandteile der Arithmetik, die die wesentlichen Grundlagen der Mathematik wie das Subtrahieren und Multiplizieren umfasst, ist die Bruchrechnung. Sie wird in der Schule relativ früh gelehrt und stellt oft den ersten Kontakt mit komplexen mathematischen Aufgaben dar. Dies könnte der Grund sein, dass die Bruchrechnung ausgesprochen unbeliebt ist, obwohl sie auch im Alltag ein nützliches und mächtiges Werkzeug der Mathematik ist.

Die grundlegenden Bedingungen der Bruchrechnung

Die Bruchrechnung erfordert Abstraktionsvermögen

Die Bruchrechnung erfordert Abstraktionsvermögen

Anders als das Rechnen mit natürlichen Zahlen erfordert die Bruchrechnung ein gewisses Abstraktionsvermögen. Die Prinzipien sind klar und einfach, es geht bei Brüchen immer darum, eine Teilmenge von einer bestimmten Anzahl auszudrücken. Während diese Menge oben im Zähler genannt wird, gibt der unten stehende Nenner darüber Auskunft, wie viele Einheiten benötigt werden, um auf die Zahl 1 zu kommen. Um das Prinzip zu verdeutlichen, wird oft das Bild eines Kuchens benutzt, der unter mehreren Gästen aufgeteilt wird. Er steht im Zähler, weil er in der Bruchrechnung die Menge der zu verteilenden Güter zählt. Die Gäste wiederum stehen im Nenner, da sie die Anzahl be-”nennen”, die nötig wäre, damit jeder Gast genau einen Kuchen erhält. Getrennt werden beide Zahlen durch eine Linie – den Bruchstrich.

Addition und Subtraktion:

Die Addition und Subtraktion führt in der Bruchrechnung nur zu einem gültigen Ergebnis, wenn der Nenner von beiden Brüchen derselbe ist. Dann werden die Zähler miteinander verrechnet, der Nenner bleibt jedoch derselbe.

Multiplikation und Division

Bei der Multiplikation werden die Zähler und die Nenner getrennt voneinander multipliziert. Bei der Division gilt für die Bruchrechnung die Regel, dass der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert wird. Der Kehrwert wird gebildet, indem Nenner und Zähler vertauscht werden.

Alles halb so schwer

Wer diese Regeln der Bruchrechnung anwendet, wird immer korrekte Ergebnisse erzielen. Für eine optimale Wiedergabe kann der Bruch noch gekürzt werden. Dies geschieht, indem Nenner und Zähler durch dieselbe Zahl dividiert werden. Das ist möglich, weil sich dadurch nichts an den Mengenverhältnissen ändert. Ebenso können beide Bestandteile auch mit derselben Zahl multipliziert werden – der Bruch wird in diesem Fall “erweitert”. Auch hier ändert sich nichts an dem Ergebnis. Um Brüche in rationale Zahlen umzurechnen, wird einfach der Zähler durch den Nenner geteilt.

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