In der Trigonometrie gibt es viele verschiedene Möglichkeiten die Winkel in einem Dreieck auszurechnen. Je nach Dreieckstyp und den gegebenen Größen muss man verschiedene Verfahren beherrschen. Allgemein gilt, dass die Winkel in einem Dreieck zusammen immer 180° ergeben.

So kann man wenn zwei Winkel gegeben sind den dritten leicht ausrechnen: 180° – Alpha – Beta = Gamma. Gegeben sei Alpha = 70° und Beta = 30° dann ist Gamma = 180° – 70° – 30° = 80°. Außerdem verhalten sich Seitenlängen und die gegenüberliegende Winkel gleich zueinander. Das heißt so viel wie a / b = Alpha / Beta. Wenn man nun also die Seitenlängen a = 30 cm und b= 60 cm gegeben hat und dazu Beta= 100° kann man Alpha ermitteln. Wenn man die Gleichung umstellt, erhält man Alpha = ( a / b) * Beta = 0,5 * 100° = 50°
Bei einem speziellen Fall, dem rechtwinkligem Dreieck, gibt es spezielle Funktionen, mit denen man die Winkel berechnen kann. Bei einem rechtwinkligen Dreieck nennt man die Seiten Hypotenuse (Seite gegenüber vom rechten Winkel) und Ankatheten (Seiten am 90° Winkel). Das Verhältnis der Seiten und der Winkel kann man nun in sechs Winkelfunktionen angeben. Davon sind vor allem drei Winkelfunktionen gebräuchlich. Auf diese Winkelfunktionen wird jetzt genauer eingegangen. Die bekanntesten sind der Kosinus, der Sinus und der Tangens.
Kosinus = Gegenkathete/ Hypotenuse
Sinus = Ankathete/ Hypotenuse
Tangens = Gegenkathete/ Ankathete

Je nach Dreieck gibt es verschiedene Möglichkeiten die Winkel zu berechnen.

Je nach Dreieck gibt es verschiedene Möglichkeiten die Winkel zu berechnen.


Die Ankathete ist die Kathete, die den Winkel berührt und die Gegenkathete ist dementsprechend gegenüber.
Ein Rechenbeispiel mit den gegebenen a = 5cm, b = 7cm, und Gamma = 90°. Nun soll Beta berechnet werden. Tangens von Beta = b/ a = 7/ 5, daraus folgt Beta = arc Tangens von 7/ 5 = 54,5°
Die Seitenlänge bei rechtwinkligen Dreiecken lässt sich mit dem Satz des Pythagoras ermitteln. Dieser wurde von Pythagoras von Samos benannt wurde. Er ist ein griechischer Mathematiker, der um 550 v. Chr. lebte. Der Satz des Pythagoras besagt, dass das Produkt der Hypotenuse mit sich selbst gleich der Summe der Produkte mit sich selbst ist. In Gleichungsschreibweise wird es so ausgedrückt: a² + b² = c². Wenn die Seiten a = 10cm und b= 20cm dann ist c = Wurzel aus (a² + b²) = Wurzel aus 500cm² = 22,7cm.

Der Kosinussatz hingegen gilt für jedes Dreieck. Er stellt die Verhältnisse der Seiten und Winkel zueinander auf. Die drei Kosinussätze sind:
a² = b² + c² – 2b * c * Kosinus von Alpha
b² = a² + c² – 2a * c * Kosinus von Beta
c² = b² + a² – 2b * a * Kosinus von Gamma

Eine weitere Möglichkeit bilden die Kongruenzsätze. Hier wird unterschieden zwischen SSS (Seite-Seite-Seite) und SWS (Seite-Winkel-Seite). Sie  geben an, dass ein Dreieck bestimmt ist, wenn entweder alle 3 Seiten oder 2 Seiten, sowie ihr Zwischenwinkel gegeben sind. Dank des Kosinussatzes kann man noch ein viertes Teil des jeweiligen Dreiecks einfach errechnen. In dem Fall, dass der Kongruenzsatz SSS gilt, so kann man einen beliebigen Winkel bestimmen. Wendet man den Kosinussatz anschließend ein weiteres Mal an, sind auch die anderen Teile des Dreiecks errechenbar. Hierfür kann man selbstverständlich auch den Sinussatz oder die Winkelsumme im Dreieck ausnutzen.

Man muss nun gut überlegen, welche Variante man verwendet. Dabei muss man drauf achten, welche Größen gegeben sind und ob es sich um einen speziellen Fall handelt oder nicht. Mit diesen Grundregeln sollte man aber keinerlei Problem beim Berechnen von Dreiecken haben.