Die Varianz fällt ins Teilgebiet der Stochastik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In der Stochastik ist sie eine wichtige Größe zur Berechnung der Standardabweichung. Sie gibt die Größe der Streuung an.

Stochastik: Zufallsgrößen, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Zufallsereignisse bedient man sich oft auch der Standardabweichung. Mit dieser wird ein Wertebereich geschaffen. Befindet sich die Anzahl an Treffer bei einer bestimmten Wahrscheinlichkeit innerhalb dieses Toleranzbereiches, ist der Wert mit dem Erwartungswert und der Wahrscheinlichkeit verträglich. Für die Berechnung des Wertebereichs benötigt man den Erwartungswert und den Schwankungsbereich, mit denen man die Standardabweichung berechnen kann. Werte die sich außerhalb der Umgebung befinden sind mit dem Erwartungswert nicht verträglich und lassen die Annahme zu, dass es sich nicht um ein Zufallsereignis handelt. Mithilfe lässt sich der Modalwert berechnen; sie dient dazu die Schwankungsbreite um den Erwartungswert herum ermitteln zu können.

Berechnung von Erwartungswert, Schwankungsbereich und Standardabweichung

Der Erwartungswert berechnet sich aus der Anzahl an Versuchen (n) und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit (p)

E = p*n

E = Erwartungswert
n = Anzahl der Versuche
p = Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ereignisse

Mithilfe des Erwartungswerts lässt sich nun die Schwankungsbreite berechnen. Die Varianz wird mit dem Buchstaben V abgekürzt. Bei der Rechnung muss unterschieden werden, ob es sich um eine Binomialverteilung oder um eine normale Zufallsverteilung handelt. Die Varianz ist ein geometrisches Mittel, statt einer Rechnung kann die Verteilung auch graphisch aufgezeigt werden. Die Berechnung der Varianz an einer Binomialverteilung ist die Wurzel aus dem Erwartungswert mal die Wahrscheinlichkeit multipliziert mit der Differenz Gesamtwahrscheinlichkeit minus der Wahrscheinlichkeit für das Zufallsereignis. Mit diesem Wert kann man die Standardabweichung berechnen. Die Standardabweichung lässt sich einseitig oder zweiseitig berechnen. Dadurch kann ein Toleranzbereich um den Erwartungswert herum gebildet werden. Bei Zufallsereignissen ohne Zurücklegen herrscht eine abhängige Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses, hängt vom Ergebnis des ersten Versuchs ab. Das erschwert die Berechnung der Varianz. In diesem Fall muss die Wurzel aus dem Mittelwert der Ergebnisse gezogen werden. Da die Varianz aber vor allem für die Berechnung von binomialverteilten Ereignissen genutzt wird, ist die Formel für die Berechnung von Zufallsereignissen im Falle einer Bernoulli-Kette interessant:

V = (0 – Erwartungswert)^2*P(x=0)+…+(n – Erwartungswert)^2*P(x=n)

x = Anzahl der positiven Ereignisse
n = Anzahl der Versuche
P = Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ereignisse

Die einfache Quadratwurzel aus der errechneten Varianz ist dann die Standardabweichung. Wie bereits erwähnt ist diese Rechnung bei der Bernoulli-Kette vereinfacht anwendbar, während bei bei einer normalen Zufallsverteilung kompliziert gerechnet werden muss.