Das geometrische Mittel ist die Definition eines Mittelwertes in der Statistik. Ein sehr anschauliches Beispiel ist die so genannte „Quadratur des Rechtecks“ mit den Seitenlängen a und b. Bei dessen Quadratur wird eben jenes Quadrat mit der Seitenlänge c gesucht, das genau denselben Flächeninhalt hat.

a x b = c x c

c = Quadratwurzel(a x b)

Die Länge des Mittelwertes c liegt irgendwo zwischen a und b. Diese Überlegung wurde in die Statistik übernommen und im Sinne eines Mittelwertes für beliebig viele Zahlen erweitert. Für n Zahlen xi gilt dann entsprechend:

c = n-te Wurzel(x1 x2 x3 ….. xn)

An dieser Gleichung wird schnell klar, dass die Definition des geometrischen Mittels eigentlich nur für Zahlen größer als null sinnvoll ist. Wenn im Produkt aller xi auch nur eine null vorkommt, dann ergibt sich auch das geometrische Mittel sofort zu null. Sind negative Zahlen dabei, dann kann es zu komplexen oder auch unlogischen Lösungen bei der Wurzeloperation kommen.

Vergleichen wir am obigen Flächenbeispiel einmal das geometrische Mittel mit dem arithmetischen Mittel d, ebenfalls ein sehr häufig verwendeter Mittelwert in der Statistik.

d = (a + b) / 2

Die Frage, ob diese beiden Mittelwerte gleich sind bzw. ob und wie sie sich unterscheiden, sei einmal an einem Zahlenbeispiel plausibel gemacht:

a = 10     und     b = 3,6

Flächeninhalt des Rechtecks: 36
geometrisches Mittel bzw. Seite c des korrespondierenden Quadrats: 6
arithmetisches Mittel d = 13,6/2 = 6,8

Es gilt ganz allgemein, dass das geometrische Mittel immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel ist.

Es sollte an dieser Stelle auch der Hinweis auf die gewichteten Mittelwerte nicht fehlen, wenngleich hier nicht detailliert darauf eingegangen wird. Man kann bei der arithmetischen Mittelwertbildung auch Gewichtungen der Einzelgrößen berücksichtigen, das kann z. B. sinnvoll sein, wenn Werte vorkommen, die bereits bei der Messung sehr sicher oder eben auch nur unsicher bestimmt werden konnten. Das geometrische Mittel sieht ein solches Vorgehen grundsätzlich auch vor, wobei hier die Wichtungen sogar als Exponenten bei den einzelnen Werten in Erscheinung treten.

Abschließend sei auch noch das harmonische Mittel aufgeführt, das im folgenden Zusammenhang mit den anderen Mittelwerten steht:

Geometrisches Mittel = Quadratwurzel(Arithmetisches Mittel x Harmonisches Mittel)

Da das arithmetische Mittel größer oder gleich dem geometrischen Mittel ist, zeigt diese Gleichung, dass gelten muss:

Harmonisches Mittel <= Geometrisches Mittel <= Arithmetisches Mittel