Beim Mathe lernen gibt es viele Regeln und Gesetze, welche unverzichtbar sind, beispielsweise das Assoziativgesetz. Wie andere Begriffe aus der Mathematik hat auch dieses seinen Ursprung in der lateinischen Sprache wird vom Wort associare abgeleitet.

Im Deutschen hat dieses Wort gleich mehrere Bedeutungen:

  • vereinigen
  • verbinden
  • verknüpfen
  • vernetzen

Das Assoziativgesetz wird umgangssprachlich oft als „Klammergesetz“ bezeichnet und beschreibt eine mathematische Verknüpfung, bei welcher die Reihenfolge der Ergebnisauswertung beliebig ist.

Formale Definition

Sei A eine Menge und + eine binäre Operation, welche nicht notwendigerweise eine Addition beschreibt. Diese Operation ist für alle a, b oder c aus A assoziativ wenn folgendes gilt:

a+(b+c) = (a+b)+c

Hierbei wird offensichtlich, dass a+b+c ein eindeutiger Term ist, da bei jeder Klammerung immer das gleiche Ergebnis ermittelt wird. Damit folgt:

a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c

Die bekanntesten Beispiele für Operationen, die für das Assoziativgesetz gelten, sind die Addition und die Multiplikation über reelle Zahlen und alle Teilmengen dieser Menge. Nicht allgemeingültig ist die Definition für das Assoziativgesetz beispielsweise für Subdraktion, Division und das Skalarprodukt im Vektorenraum.

Unterschiede zu anderen Gesetzen

Weitere wichtige Gesetze sind das Kommutativgesetz (a+b = b+a) und das Distributivgesetz. Im Gegensatz zum Assoziativgesetz spielen beim Kommutativgesetz die Klammern nur eine Rolle wenn es auf ganze Terme angewendet wird, zum Beispiel (1+2) + (3*1) = (3*1) + (1+2).

Das Distributgesetz ist wie folgt definiert: a*(b+c) = a*b+a*c. Es wird oft mit dem Begriff „Ausklammern“ verbunden.

Anwendung

Das Assoziativgesetz findet vor allem dann Anwendung, wenn ein mathematischer Term ausgerechnet wird. Mit ihm kann man Rechnungen erleichtern, indem man, am Beispiel einer Rechnung mit natürlichen Zahlen, zuerst jene Zahlen zusammenfasst, die sich leichter im Kopf ausrechnen lassen. Dazu ein Beispiel: Es sei der Term 17+15+25+10 gegeben. Wir gehen folgendermaßen vor:

  • 13+(15+25)+10
    = 13+(40+10)
    = 13+50
    = 63

Es gibt natürlich mehrere Möglichkeiten, wie ein Term wie dieser ausgerechnet beziehungsweise geklammert werden kann. Was nun einfacher auszurechnen ist, ist jedem selbst überlassen, das Assoziativgesetz gibt nur ein Werkzeug um anzugeben, welche Teile eines Terms zuerst ausgerechnet werden sollen.