Das Distributivgesetz ist eine Regel aus der Mathematik. Es gehört zusammen mit dem Kommutativgesetz sowie dem Assoziativgesetz zu den Basis-Regeln der Algebra. Diese Regeln müssen alle Schüler in Mathe lernen.

Das Distributivgesetz: Definition

Das Distributivgesetz wird im Deutschen auch als Verteilungsgesetz bezeichnet. Laut Distributivgesetz multipliziert man eine Summe oder Differenz innerhalb einer Klammer mit einem Faktor, indem man unter Berücksichtigung der Vorzeichenregel jede Zahl in der Klammer mit dem Faktor multipliziert und dann die Produktwerte addiert bzw. subtrahiert. Dieses Vorgehen wird auch Ausmultiplizieren genannt. In diesem Fall werden vorhandene Klammern aufgelöst. Das Distributivgesetz kennt aber auch den umgekehrten Fall, das Bilden von Klammerausdrücken, welches Ausklammern genannt wird. Das Distributivgesetz besagt in diesem Fall, dass ein konstanter Faktor, also ein gemeinsamer Faktor, der in mehreren Termen vorhanden ist, ausgeklammert werden kann.

Das Distributivgesetz: Beispiele

Ein Beispiel für das Ausmultiplizieren:

a • (b + c) = a • b + a • c oder
a • (b – c) = a • b – a • c

genauso gilt:

(a + b) • c = a • c + b • c oder
(a – b) • c = a • c – b • c

Die ersten beiden Ausdrücke sind linksdistributiv, weil der Multiplikator „a“ links vom Klammerausdruck steht. Entsprechend nennt man die zweiten beiden Ausdrücke rechtsdistributiv, da der Multiplikator „c“ rechts vom Klammerausdruck steht. Wenn die übergeordnete multiplikative Verknüpfung kommutativ ist, d.h. sie folgt dem Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz genannt, kann man aus der Rechtsdistributivität auch die Linskdistributivität folgern und umgekehrt.

c • (a + b) = (a + b) • c

Die Division ist ein Sonderfall, denn sie ist nur rechtsdistributiv, kann demnach auch nie kommutativ sein, d. h. es gilt:

(a + b) : c = a : c + b : c oder
(a – b) : c = a : c – b : c

Aber es gilt nicht:

a : (b + c) = a : b + a : c oder
a : (b – c) = a : b – a : c

Ein Beispiel für das Ausklammern:

a • b + a • c = a • (b + c) oder
a • b – a • c = a • (b – c)

Hat man zwei Klammern mit jeweils einer Summe und sollen die beiden Klammern miteinander multipliziert werden, muss man jeden Summanden der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe, natürlich unter Beachtung der Vorzeichen, multiplizieren und die entstandenen Produkte addieren.

Beispiel:

(a + b) • (c +d) = a • c + a • d + b • c + b • d

Eine spezielle Form ist die erste Binomische Formel, die besagt:

(a + b) • (a + b) = a² + a • b + a • b + b² = a² + 2 • a • b + b²