Unter einer linearen Gleichung versteht man eine mathematische Bestimmungsgleichung, in der die Unbekannte ausschließlich in einer Linearkombination vorkommt. Die Unbekannte ist hierbei meist ein Skalar, in den meisten Fällen auch reelle Zahlen. Die Form einer linearen Gleichung ist also meist: a*x=b, wobei x hier die Unbekannte sei und a und b Konstanten.
Es gibt allerdings auch lineare Gleichungen, die mehrere Unbekannte oder andere mathematische Objekte als Unbekannte besitzen. Als Beispiele für diese Fälle kann man Vektoren (lineare Gleichungssystem) oder Funktionen (lineare Differentialgleichungen) betrachten. Zum Lösen einer linearen Gleichung muss folgendes Programm angewandt werden:

  • Klammern auflösen
  • Zusammenfassen
  • Durch Arbeitsaufträge die Variable auf die eine und die Zahlen auf die andere Seite bringen
  • Durch die Vorzahl der Variablen dividieren
  • Lösungsmenge der linearen Gleichung angeben

Beispiel
4*(x+3)=20, hier löst man nun die Klammer auf
4x+12=20, man bringt nun die Variable auf die eine Seite
4x=8, abschließend teilt man durch die Vorzahl der Variablen
x= 2
Die Lösung der Gleichung beträgt also 2.

Darstellung einer Geraden
Die Darstellung einer Geraden im zweidimensionalen Koordinatensystem erfolgt mit Hilfe einer linearen Gleichung. In diesem Falle hat die Gleichung 2 Unbekannte, meist x und y.
Es gilt die Form
a*x + b*y = c, wobei a, b und c wieder Konstanten sind.
Meist wird aber die Form zur Darstellung einer Geraden gewählt, in der die Gleichung nach der Variablen y umgestellt ist, also:
y= (c- a*x)/b = c/b – ax/b
Hierbei steht der Ausdruck c/b für den y-Achsenabschnitt der Geraden und der Ausdruck -a/b steht hierbei für die Steigung der Geraden.

Lineare Gleichungssysteme
Es gibt weiterhin die Möglichkeit, dass man 2 lineare Gleichungen mit jeweils 2 Variablen hat, die in einem Gleichungssystem voneinander abhängig sind. Um die Variablen dieser linearen Gleichungen zu bestimmen gibt es verschiedene Verfahren, die man anwenden kann.
Diese lauten:

  • Gleichsetzungsverfahren
  • Einsetzungsverfahren
  • Verwenden einer Determinanten

Die einzelnen Schritte bei den unterschiedlichen Verfahren:
Gleichsetzungsverfahren

  • Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen
  • Anderen Seiten der Gleichungen gleichsetzen
  • Nach der übrig gebliebenen Variablen auflösen
  • Lösung in einer der Ausgangsgleichungen einsetzen, um die andere Variable zu bestimmen

Einsetzungsverfahren

  • Eine der Gleichungen nach einer Variablen auflösen
  • Den Term dieser Variablen in die andere Gleichung einsetzen
  • Die Gleichung nach der übrig gebliebenen Variable auflösen
  • Lösung in die Gleichung aus Schritt 1 einfügen

Determinante
Mit Hilfe der Determinante kann man überprüfen, ob ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösungsmenge hat. AUch die Matrix kann man berechnen. Hierbei hilft die Algebra Lehre.