Als Determinante bezeichnet man eine Zahl, welche einer Matrix zugeordnet werden kann. Mithilfe dieser Zahl kann man bestimmen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Dabei ist das aus linearen Gleichungen bestehende System genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante ungleich null ist.

Was ist eine Matrix?

Unter einer Matrix versteht man eine rechteckige Anordnung von Elementen, welche Zahlen und Variablen sein können. Die Matrizenschreibweise zählt dabei in das Gebiet der Algebra. Um die Berechnung im Folgenden nachvollziehbar zu gestalten, definieren wir folgende Schreibweise für die Elemente der Matrix. Sei A eine Matrix mit a(ij), wobei i=1,2,…,m und j=1,2,…,n ist. Die Index i bezeichnet dabei die Zeile und der Index j die Spalte, in welcher das Element steht. Zu beachten ist außerdem, dass mxn die Matrizengröße definiert. Ist beispielsweise eine 3×2 Matrix gegeben, ist m=3 und n=2.

Voraussetzungen für die Berechnung einer Determinante

Um eine Determinante einer Matrix berechnen zu können, muss die Matrix quadratisch sein. Das bedeutet, dass die Matrix über die gleiche Anzahl an Spalten und Zeilen verfügen muss. Somit muss m=n sein.

Berechnung der Determinante einer 2×2 Matrix

Die Determinantenberechnung einer 2×2 Matrix ist simpel, da es dafür einen festgeschriebenen Algorithmus gibt. Dieser besagt: det(A)=a(11)*a(22)-a(12)*a(21). Wichtig zu beachten ist, dass auch bei der Determinantenberechnung die Regel Punkt- vor Strichrechnung gilt.

Berechnung der Determinante einer 3×3

Für die Berechnung der Determinante einer 3×3-Matrix gibt es ebenfalls einen Algorithmus, welcher jedoch ein wenig umfangreicher ist. Die Determinante berechnet sich wie folgt: det(A)=a(11)*a(22)*a(33)+a(12)*a(23)*a(31)+a(13)*a(21)*a(32)-a(13)*a(22)*a(31)-

a(12)*a(21)*a(33)-a(11)*a(23)*a(32). Diese Rechnung scheint auf den ersten Blick sehr kompliziert, zeichnet man jedoch die Produkte einmal in die Matrix ein, so erkennt man, dass die Produkte lediglich Diagonalen durch die Matrix sind. Auch die Einzeichnung in einer Koordinatensystem verdeutlicht das.

Berechnung der Determinante größerer Matrizen

Zur Berechnung größerer Matrizen ist die Anwendung des Laplaceschen Entwicklungssatzes notwendig, worauf an dieser Steller aufgrund dessen Komplexität nicht näher eingegangen wird.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Determinanten eine einfache Möglichkeit zur Lösung linearer Gleichungssysteme sind. Selbst die Berechnung größerer Matrizen gestaltet sich auf diesem Weg zeiteffizienter als die herkömmliche Berechnungsart.