Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit den Eigenschaften von Rechenoperationen. Dieses Teilgebiet wird im Volksmund oft als „Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen“ verstanden, also das Rechnen mit Buchstaben. Erfinder dieses mathematischen Bereiches soll der Grieche Diophantus gewesen sein, der etwa um 100 vor Christi gelebt haben soll.

Begriffsbestimmung und Gliederung

Im Laufe der Geschichte haben sich Methoden und Inhalte der Algebra stark erweitert. Es ist deshalb schwierig geworden, den Begriff in einer kurzen Definition anzugeben. Andere, an die Algebra angrenzende Teilgebiete lassen sich oft schwer voneinander abgrenzen. Die grundlegende Algebra ist eine Form im Sinn der Schulmathematik. Dabei umfasst sie die Rechenregeln der ganzen, gebrochenen, reellen und natürlichen Zahlen, dem Ausdrucksumgang, die Variablen haben und Wege hin zur Lösung von einfachen algebraischen Gleichungen. Unter der abstrakten Algebra versteht man die Grundlagendisziplin der modernen Mathematik. Dabei beschäftigt sie sich mit speziellen algebraischen Strukturen etwa Ringen, Gruppen, Körpern sowie deren Verknüpfung. Bei der linearen Form wird das Lösen von linearen Gleichungssystemen, die Bestimmung von Eigenwerten, die Untersuchung von Vektorräumen verstanden. Sie ist dabei die Grundlage der analytischen Geometrie. Im Gegensatz zur Tensor Analysis untersucht die multilineare Algebra die algebraischen Eigenschaften von multilinearen Abbildungen, etwa Tensoren.

Weitere Formen

Mit kommutativen Ringen und deren Moduln, Algebren und Idealen befasst sich die kommutative Algebra, sie ist aber eng mit der algebraischen Geometrie verwandt. Die reelle Form untersucht die algebraischen Zahlkörper, auf welchen eine Anordnung festgelegt werden kann.

Darauf werden weiter die positiven Polynome untersucht. Die Computeralgebra arbeitet mit der symbolischen Manipulation von algebraischen Ausdrücken. Das exakte Rechnen bildet den Schwerpunkt mit algebraischen, rationalen und ganzen Zahlen und Polynomen über den Zahlenraum. Diesem Teilgebiet ist auf der theoretischen Seite die Suche nach effizienten Algorithmen und die Komplexitäts-Ermittlung dieser Algorithmen zuzuordnen. Bei der praktischen Seite wurden viel von Computer-Algebrasystemen erschaffen, die eine rechnergestützte Manipulation der algebraischen Ausdrücke möglich macht. Die allgemeine oder universelle Form dieser Mathematik betrachten allgemein die algebraischen Strukturen. Dabei untersucht die algebraische Geometrie Nullstellen von Systemen mit algebraischen Gleichungen. Bei der algebraischen Zahlentheorie werden Fragestellungen der Zahlentheorie untersucht und zwar mit Hilfe von Methoden dieses Mathematikteilbereiches. Bei der homologischen Form sind Methoden beinhaltet, mit denen ursprüngliche Fragen der Topologie im Bereich der algebraischen Topologie auf die algebraischen Sachverhalte zurückgeführt worden sind. Zur Darstellung der Ergebnisse wird oft ein Koordinatensystem genutzt. Das geschieht auch bei einer linearen Gleichung, einer Matrix oder einer Determinante.