Unter Distributivgesetz (Deutsch: Verteilungsgesetz), versteht man mathematische Regeln, die sich mit Verknüpfungen,im zweistelligen Bereich befinden,auseinandersetzt, wie diese Verknüpfungen miteinander kommunizieren. Daraus wird dann ersichtlich, dass diese Verknüpfungen miteinander harmonieren. In der Schule versteht man unter dem Distributivgesetz, das Herausheben oder auch Ausklammern von einer Summe, die sich zu einem Produkt weiterentwickelt. Durch die Anwendung des Distributivgesetzes , entsteht ein Prozess des Ausmultiplizierens. Entscheidende Regeln aus der Algebra werden aus dem Assoziativgesetz, aus dem Kommutitativgesetz und dem Distributivgesetz herausgebildet.

Gestalterische Definition des Distributivgesetzes

Definition einer Menge von zwei Funktionen:

linksdistributiv über +, wenn für alle a,b,c A gilt
a o (b+c) = (a o c) + (b o c)
rechtsdistributiv über +, wenn für alle a,b,c A
gilt (a+b) o c = (a o c) + (b o c)
distributiv, wenn sie rechtsdistributiv und linksdistributiv über + ist

Eine äquivalente Situation tritt für diese drei ein, wenn die Verknüpfung 0 kommutativ ist.

Bedeutungserklärung

Es existieren zwei unterschiedliche Verknüpfungen:

a.(b=c) 0 a.b =a.c (linksdistributiv)
(a=b).c = a.c = b.c (rechtsdistributiv)

Sprachlich ausgedrückt bedeutet dies:

Ein Faktor wird mit einer Menge multipliziert. Hierzu ist es notwendig, dass man die Summanden mit dieser Menge multipliziert, die Produktwerte werden addiert.

Wenn eine Verknüpfung kommutativ ist, so besteht die Möglichkeit, die Linksdistributivität, der Rechtdistributivität folgern zu lassen.

(a = b) : c 0 a : c = b :c

Keine Geltung findet hier:

a : (b = c) = a:b = a:c

Das Divisionsgesetz wird in der Schule umgangen, sodass die kommutativen Distributivgesetze zum Einsatz kommen. Diese Rechnung sieht dann wie folgt aus:

(a=b):c=c.(m=n):c=m=n

In den Bereichen der Axiomen für Körper und Ringe wird man die Distributivgesetze finden.
In der Booleschen Algebra, sowie bei der Algebra bei Mengen und bei der Schaltalgebra sind distributive Funktionen zu finden.
Es kommt auch vor, dass sich zusammengestellte Verknüpfungen nicht distributiv verhalten. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn sich eine Kombination aus einer Addition und einer Multiplikation ergibt. Die Addition steht der Multiplikation nicht distributiv gegenüber.

Jede Summanden einer Gruppe werden jeweils mit den Summanden der anderen Gruppe miteinander multipliziert ( unter Beachtung von vorhandenen Vorzeichen). Anschließend werden die entstandenen Produkte addiert. Um leichter Mathematik zu lernen, gibt es zudem noch das Assoziativgesetz, das Flexibilitätsgesetz und das Kommutativgesetz.

Matrizen

Bei der Multiplikation der Matrix kommt das Distributivgesetz zum Einsatz.

(A+B).C=A.C+B.C

für alle – Matrizen A, B und m x n-Matrizen C sowie

A(B+C)=A.B+A.C

für allefür alle l,x-Matrizen  und m, x n-Matrizen B,C .