Das Assoziativgesetz gehört zu den wichtigsten Gesetzen der Mathematik. Auf Deutsch nennt man das Assoziativgesetz auch Verknüpfungsgesetz oder Verbindungsgesetz. Für eine Verknüpfung trifft das Verknüpfungsgesetz zu, wenn die Reihenfolge der Rechnung das Ergebnis nicht verändert.

Man kann also an allen beliebigen Stellen der Rechnung Klammern setzen, ohne Auswirkungen auf das Ergebnis zu nehmen. Unter einer Verknüpfung versteht man eine Rechenoperation, also zum Beispiel die Addition oder die Division. Wenn alle Regeln zu treffen, nennt man diese Verknüpfung assoziativ. Zusammen mit dem Distributivgesetz und dem Kommutativgesetz ist es ein grundlegender Bestandteil der Algebra.

Beispiele des Assoziativgesetzes mit reellen Zahlen

Die Addition von reellen Zahlen ist assoziativ, allgemein gilt (x + y) + z = x + (y + z). Ein konkretes Beispiel ist (6 + 4) + 9 = 19 und 6 + (4 + 9) = 19.
Auch die Multiplikation reeller Zahlen unterliegt dem Assoziativgesetz. Allgemein kann man also sagen, das (x * y) * z = x * (y * z) gilt. Wenn beispielhafte Zahlen eingesetzt erhält man: (6 * 4) * 9 = 216 und 6 *(4 * 9) = 216.
Anders als in den vorangegangenen Beispielen ist die Subtraktion nicht assoziativ. Das heißt also, dass (x – y) – z ungleich x – (y – z) ist. Auch hier werden die Beispielzahlen zur Verdeutlichung eingesetzt: (6 – 4) – 9= – 7 allerdings ist 6 – (4 – 9) = 11.
Wie bei der Subtraktion ist auch die Division nicht assoziativ. In diesem Fall gilt also (x / y) / z ungleich x / (y / z). In Zahlen sieht es zum Beispiel so aus: (8 / 4) / 2 = 1 und 8 / (4 / 2) = 4.
Es ist zu erkennen, dass das Verknüpfungsgesetz viele Gemeinsamkeiten mit dem Kommutativgesetz hat, bei dem ebenfalls die Addition und Multiplikation von reellen Zahlen den Bedingungen des Gesetzes entsprechen und die Subtraktion und Division von reellen Zahlen nicht auf die Gesetze reffen.

Anwendungen des Assoziativgesetzes

Das Assoziativgesetz ist neben dem neutralen und dem inversen Element eine Bedingung für eine mathematische Gruppe.
Auch im Flexibilitätsgesetz spielt das Assoziativgesetz eine große Rolle, für jede assoziative Verknüpfung trifft auch das Flexibilitätsgesetz zu.
Dazu kommt das Verknüpfungsgesetz in vielen Bereichen der (linearen) Algebra zum Einsatz und zählt dort zu den grundlegenden Gesetzen. All diese Gesetzte dienen dazu, das Lernen der Mathematik zu erleichtern.