Mathematik lernen beschränkt sich in höheren Klassen und in der universitären Ausbildung nicht mehr auf die Anwendung des praktischen Rechnens. Es werden verschiedene theoretische Modelle untersucht. Ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik ist die abstrakte Algebra. Sie befasst sich mit Strukturen wie den Körpern, den Gruppen und den Ringen. Verschiedene Gesetze wie beispielsweise das Assoziativgesetz, aber auch das Flexibilitätsgesetz finden hier ihre Anwendung.

Der algebraische Körper

Damit eine mathematische Struktur als Körper bezeichnet werden kann, müssen die fünf Körperaxiome hinsichtlich der Addition und der Multiplikation erfüllt sein. Seien °,*Verknüpfungen der Addition, beziehungsweise der Multiplikation, dann gilt:

  • das Kommutativgesetz: a * b = b * a,
  • das Assoziativgesetz: a * (b * c) = (a * b) * c,
  • das Distributivgesetz: a ° (b *c) = a ° b * a ° c,
  • die Existenz eines neutralen Elements und
  • die Existenz inverser Elemente hinsichtlich der Rechenoperationen.

Ein Beispiel für einen algebraischen Körper sind die reellen Zahlen. Sie erfüllen alle fünf Bedingungen.

Auch das Flexibilitätsgesetz spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik.

Auch das Flexibilitätsgesetz spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik.

Vom Schiefkörper zum Alternativkörper mit dem Flexibilitätsgesetz

Erfüllt ein Körper alle Axiome außer der Kommutativität der Multiplikation, wird er als Schiefkörper bezeichnet. Ein solcher Körper sind beispielsweise die Quaternionen. Sie wurden von W. R. Hamilton im neunzehnten Jahrhundert entdeckt, der die räumliche Geometrie analog zur ebenen Geometrie behandeln wollte. Die Quaternionen sind ebenso wie die komplexen Zahlen, die in der ebenen Geometrie verwendet werden, eine Erweiterung des Zahlbereichs der reellen Zahlen. Quaternionen stellt man als Matrix aus den Elementen Alpha, Beta, Minus-Beta(-Komplementär) und Alpha(-Komplementär) dar. Lässt man nun auch das Assoziativgesetz der Multiplikation fallen, gelangt man zu dem Alternativkörper mit dem bei ihm geltenden Flexibilitätsgesetz.

Das Flexibilitätsgesetz des Alternativkörpers

Im Alternativkörper gelten für die Verknüpfung mit dem neutralen Element Eins folgende Beziehungen:

a * (a * b) = (a * a) * b und a * (b * b) = (a * b) * b.
Diese Eigenschaft wird als Alternativität bezeichnet. Aus ihr lässt sich das Flexibilitätsgesetz entwickeln, es lautet:

a * (b * a) = (a * b) * a.

Mit dem Flexibilitätsgesetz kann man so zumindest eine minimale Klammerung bezüglich der Rechenoperation * erreichen, da weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz hier greifen. Das Flexibilitätsgesetz findet seine Anwendung in den Oktonionen. Sie sind eine Erweiterung der Quaternionen. Da das Flexibilitätsgesetz eine sehr allgemeine Verknüpfung ist, erfüllen das Assoziativ, Distributiv– und das Kommutativgesetz seine Bedingungen problemlos. Das Lernen der Mathematik wird dadurch erleichtert.