Das Kommutativgesetz gilt in der Mathematik als eine Grundregel. Für viele mathematische Definitionen ist es notwendig, dass das Kommutativgesetz zutrifft. Zusammen mit dem Distributionsgesetz und dem Assoziativgesetz ist es ein grundlegender Bestandteil der Algebra.

Bedeutung des Kommutativgesetze

Im deutschen Sprachgebrauch nennt man das Kommutativgesetz auch Vertauschungsgesetz. Aus dem Begriff Vertauschungsgesetz kann man schon die Bedeutung des Kommutativgesetzes ableiten. Das Gesetzt trifft zu, wenn man bei einer Verknüpfung von, zum Beispiel, zweier Zahlen, Skalaren oder Matrizen auch nach einer vertauschten Reihenfolge dasselbe Ergebnis erzielt. Wenn das Kommutativgesetz zutrifft, nennt man diesen Vorfall kommutativ. Beispiele für Verknüpfungen sind unter anderem die Addition oder die Multiplikation.

Beispiele für reelle Zahlen

Für reelle Zahlen ist die Addition sowie die Multiplikation sind kommutativ, da y + z = z +y und y * z = z * y gilt. In Zahlen ausgedrückt heißt das so viel, wie 5 + 9 = 9 + 5 und 5 * 9 = 9 * 5. Die Division und Subtraktion sind nicht kommutativ, da weder y / z = z / y, noch y – z = z – y zutreffen. Das Beispiel mit Zahlen sieht dann wie folgt aus: 5 / 9 ungleich 9 / 5 und 5 – 9 ungleich 9 – 5.
Anwendung in der linearen Algebra:
Vor allem in der linearen Algebra hat das Kommutativgesetz eine große Bedeutung. Ein Vektorraum muss den Bedingungen einer abelschen Gruppe unterliegen. Diese besondere Gruppe ist nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel benannt, welcher von 1802 bis 1829 lebte. Im Gegensatz zu normalen Gruppen der Mathematik gilt in abelschen Gruppen zusätzlich das Vertauschungsgesetz. Es müssen aber auch die notwenigen Bedingungen einer Gruppe gelten, also muss es zu jedem Element der Gruppe ein inverses und ein neutrales Element geben. Dazu muss das Assoziativgesetz gelten. So bilden also die reellen Zahlen mit der Addition eine abelsche Gruppe, sie sind kommutativ. Daneben erleicht es Mathematik zu erlernen, wenn man auch Distributiv- und das Flexibilitätsgesetz beherrscht.