Die Berechnung bzw. Bildung von Ableitungen ist ein sehr wichtiges Element bei der Kurvendiskussion. Mit Hilfe mathematischer Funktionen können physikalische Vorgänge (modellhaft) beschrieben und ggf. Voraussagen getroffen werden.

Ein einfaches Beispiel dafür ist die Flugbahn eines Balles oder eines Geschosses. In Abhängigkeit von Stärke und Richtung des Anfangsimpulses möchte man den höchsten (Umkehr)Punkt der Flugbahn und den Auftreffpunkt wissen. Letzterer wäre eine so genannte Nullstelle der Parabel, also ein Schnittpunkt der Kurve mit der Erdoberfläche, die hier als Linie der Höhe Null definiert sein könnte. Der Ort, wo die Flugbahn ihre maximale Höhe erreicht, ist mathematisch dadurch gekennzeichnet, dass die Steigung der Kurve an dieser Stelle gleich null ist; es ist genau der Übergang vom Steig- zum Sinkflug. Und die Steigungen der Tangenten, die in allen Punkten an der Kurve anliegen, können mit Ableitungen berechnet werden.

Das Steigungsdreieck

Ableitungen werden mit einem Steigungsdreieck bestimmt, das auf die Größe null zusammen schrumpft.

Ableitungen werden mit einem Steigungsdreieck bestimmt, das auf die Größe null zusammen schrumpft.

Ableitungen werden bestimmt durch die Betrachtung eines kleinen Steigungsdreiecks, das in einem Grenzübergang auf die Größe null zusammen schrumpft. Dazu betrachten wir den Funktionswert f(x) an der Stelle x und gleich dicht daneben den Funktionswert f(x+h) an der Stelle x+h, wobei h ein sehr kleiner Schritt ist. Es ergibt sich jetzt ein kleines Dreieck mit der vertikalen Strecke [f(x+h) – f(x)] und der horizontalen Strecke h. Die i.a. schräge Verbindungslinie beider (zueinander senkrechter) Strecken entspricht schon in etwa dem Kurvenverlauf; ihr Anstieg im Diagramm ergibt sich aus:

tan(alpha) = [f(x+h) – f(x)] / h

Lässt man h nun immer kleiner werden, im Extremfall zu null, dann entspricht die Steigung des winzigen Dreiecks genau der Steigung der Tangente an der Kurve an der Stelle x. So berechnet man die Ableitungen von Funktionen. Das Maximum bzw. das Minimum der Kurve befindet sich überall dort, wo die Tangenten horizontal verlaufen, also tan(alpha) gleich null ist.

Beispiel Parabel

Bilden wir nach obiger Vorschrift die Ableitung des einfachen Polynoms f(x)=x^2
f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 (erste Binomische Formel)
tan(alpha) = [x^2 + 2xh + h^2 – x^2] / h = [2xh + h^2] / h = 2x + h
Wenn im Grenzübergang h zu null wird, dann entspricht die Steigung bzw. die Ableitung dem Wert 2x. Null ist diese Ableitung nur an der Stelle x=0, d.h. dort liegt zugleich das Minimum der Parabel.

Ableitungen von Polynomen

Polynome sind in der Mathematik recht umgängliche Funktionen, so gibt es dafür auch eine einfache Regel für die Bildung ihrer Ableitungen. Man nehme stets den Exponenten von x als Vorfaktor und reduziere gleichzeitig den Exponenten um 1.
Beispiel-Polynom: f(x) = 2x^3 – 5x^2 + 7x – 11
Ableitung: df(x)/dx = f'(x) = 6x^2 – 10x + 7
Der Exponent beim 3. Glied 7x ist 1, daher gilt hier 1 mal 7 mal x^0, und in der Mathematik gibt es die Definition, dass alles mit dem Exponenten 0 immer gleich 1 bedeutet. Der Y-Achsen-Abschnitt -11 (Versatz der Kurve nach unten) enthält formal ein gedachtes x^0; nimmt man diese Null beim Ableiten als Vorfaktor, muss dieses Glied vollständig verschwinden.

Auch bei solchen höhergradigen Polynomen sind die Nullstellen, so wie beim Auftreffpunkt der Flugbahn, von Interesse. Um diese zu bestimmen, hat sich z. B. das so genannte Horner Schema durchgesetzt.

Es gibt auch viele Funktionen, die aus einer Kombination von Polynomen bestehen, entweder als deren Produkt, oder als deren Quotient. Zur Bildung der Ableitungen dieser etwas komplizierteren Funktionen gibt es ebenfalls Ableitungsregeln, so z. B. die Produkt- oder die Quotientenregel. In manchen Fällen sollte man aber vor der Bildung der Ableitungen genau hinsehen, ob sich die vorliegende Funktion nicht durch die Ausführung einer Polynomdivision ganz erheblich vereinfachen lässt (kleiner Trick bei Mathe-Arbeiten).