Bei der Kurvendiskussion geht es darum, den Graphen einer Funktion zu erklären. Deshalb ist es wichtig, die Punkte des Graphen zu interpretieren und etwas über den Verlauf im Definitionsbereich zu wissen. Die Untersuchung der charakteristischen Eigenschaften einer Funktion nennt man Kurvendiskussion. Bei der Kurvendiskussion wird systematisch vorgegangen.

Die Verfahrensweise

Definitionsbereich der Kurvendiskussion

In der Kurvendiskussion soll der Graph einer Funktion erklärt werden.

In der Kurvendiskussion soll der Graph einer Funktion erklärt werden.

Untersucht wird der Definitionsbereich der Funktion, nur innerhalb dieses Bereiches ist es sinnvoll, Untersuchungen über die Eigenschaften der Funktion anzustellen.

Symmetrien:

Festgestellt wird, ob die Funktion achsen – oder punktsymmetrisch ist.

  • Bei Achsensymmetrie gilt: f (-x) = f (x) in beiden Fällen benötigt die Funktion nur für x >= 0
  • Bei Punktsymmetrie gilt: f (-x) = -f (x)
  • Bei ganzrationalen Funktionen gilt: Achsensymmetrisch ist eine ganzrationale Funktion, wenn ihr Term nur Summanden mit geraden Exponenten enthält. Eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn ihr Term nur Summanden mit ungeraden Exponenten enthält.

Extrema

Die relativen Extrema werden bestimmt, diese werden als Hoch- bzw. Tiefpunkte bezeichnet. Das sind auch die Punkte mit einer waagerechter Tangente.

Hochpunkt = relatives Maximum Tiefpunkt = relatives Minimum
Bedingung:  f‘ (x1) = 0 ^f‘‘ (x1) < 0 f‘ (x1) = 0 ^ f‘‘(x1) > 0

Wendepunkte

Bestimmen der Wendepunkte, bzw. der Sattelpunkte: Bedingung für Wendepunkte: f‘‘ (xw) = 0 ^ f‘‘‘ (xw) ungleich 0.
Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Achsenschnittpunkte

Ist der x- Wert Null ( x = 0 ) in die Funktionsgleichung von f(x) eingesetzt, erhält man den Schnittpunkt mit der y- Achse.

  • Schnittpunkt mit der x- Achse erhält man durch nullsetzen des Funktionsterms von f(x).
  • Schnittpunkt mit der y-Achse Py (0/ys) -> f (0) bestimmen
  • Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) Pxi (xi/0) -> f (x) = 0

Der Graph

Mit den gesammelten Informationen kann man in den meisten Fällen nun der Graph zeichnen. Zusätzlich wird eine Wertetabelle angelegt. Dabei wird erkennbar welche Werte noch zu berechnen sind. Sie werden mit dem Taschenrechner bestimmt, oder für ganzzahlige x- Werte mit dem Horner Schema.

Krümmungsverhalten und Monotonie

In der Wendestelle xw ändert sich die Krümmung des Graphen von f (x)
Für die Krümmung in einem beliebigen Punkt gilt:

  • f‘‘ (x0) > 0 dann ist der Graph linksgekrümmt (konvex)
  • f‘‘ (x0) < 0 dann ist der Graph rechtsgekrümmt (konkav)

An den Wendestellen ändert sich das Krümmungsverhalten eines Graphen. An den Extremstellen ändert sich das Monotonieverhalten.

Randpunkte des Definitionsbereiches bei der Kurvendiskussion

Die Funktion wird hinsichtlich der Randpunkte des Definitionsbereichs untersucht. Wenn der Definitionsbereich nicht beschränkt ist, dann können die Grenzwerte zu bestimmt werden.