Nullstellen sind keine Stellen im allgemeinsprachlichen Sinn. Nullstellen sind Punkte. Die schulische Lehre führt den Begriff der linearen Funktion ein. Dies sind zwei Werte und eine Variable, die zu Beginn alle reellwertig sind. Die Idee der Wert der Summe aus den Produkt eines Parameter mit der Variablen und dem zweiten Parameter lässt sich darstellen führt über Wertetabellen mit Zahlenpaaren zum Begriff Punkt und dessen Darstellung in einem Koordinatensystem als eine Möglichkeit.

Dabei tritt die Null als ein Wert der angenommen wird auf. Fragen aus der Lebenswelt werfen die besondere Rolle der Null auf. Die Nullstelle ist der Punkt an dem die Variable multipliziert mit dem ersten Parameter den zweiten Parameter negativ gleicht. Die Rechenschritte sind die Einführung in das Horner Schema. Dies wird in der Schule für Polynome höheren Grades eingeführt, meist aber nur bis zum dritten Grad geübt und getestet.

Die Nullstelle: die Variable, die multipliziert mit einem ersten Parameter dem zweiten Parameter negativ gleicht.

Die Nullstelle: die Variable, die multipliziert mit einem ersten Parameter dem zweiten Parameter negativ gleicht.

Das Horner Schema ist eine übersichtliche Darstellung der Zerlegung eines Polynoms in lineare Faktoren. Lineare Faktoren sind lineare Funktionen, deren Koeffizienten die negativen Nullstellen des Polynoms sind. Mit dem Horner Schema werden gleichzeitig die Nullstellen eines Polynoms berechnet. Aus der Darstellung eines Polynoms in linearen Faktoren können die Koeffizienten oder Parameter des Polynoms berechnet werden. Beide Darstellungen eines Polynoms sind äquivalent.

Die Darstellung in linearen Faktoren erleichtert die Polynomdivision, wenn beide Polynom Nullstellen gemeinsam haben. Die allgemeine Polynomdivision zeigt bei gemeinsamen Nullstellen Möglichkeiten zur vereinfachten Darstellung. Dies können wiederum Polynome, Konstante oder Summanden aus Bruchpolynomen sein.

  • Eine Kurvendiskussion umfasst die Erstellung von Wertetabellen für die Funktion,
  • Ableitungen,
  • Nullstellenberechnungen und ihrer Ableitung,
  • die Bestimmung des Verhaltens der Funktion für große negative und positive Werte und
  • eine grafische Darstellung aller wichtigen Stellen der Funktion und
  • ihrer Ableitungen.
  • Bei Singularitäten der Funktion sind diese zu berechnen und Darstellungen des asymptotischen Verhaltens zu bestimmen.
  • Abhängig von den vorgelegten Funktionen sind Perioden zu bestimmen oder wichtige mathematische Zahlen zu identifizieren.
  • Zeigt eine Funktion Einfluss komplexer Zahlen, so ist dies zu diskutieren.
  • Der Typ transzendental, hyperbolisch, elliptisch oder polynomial der Funktion ist festzustellen.
  • Jeder Typ hat andere Nullstellentypen. Damit kann eine fundamentale Typisierung der Nullstelle erfolgen.
  • Bei Polynomen tritt die Möglichkeit einer natürlich vielfachen Nullstelle auf. transzendentale und hyperbolische Funktionen haben unendlich- fache Nullstellen.

Ableitungen haben von der vorgelegten Funktion abhängige Eigenschaften und Nullstellen. Eine Nullstelle kann beliebig durch einen Parameter linear verschoben werden. Jedoch spätestens die Ableitung ist unabhängig von der linearen Verschiebung. Je höher die Ableitung, desto fundamentaler sind die noch verbliebenen Eigenschaften der Funktion oder die Funktion bleibt ein Polynom und ist nach endlich vielen Ableitungen Null.

Polynome sind durch ihre Nullstellen oder äquivalent ihre Koeffizienten eindeutig festgelegt. Bei gemischten Funktionen können sich Nullstellen gleichen Typs auslöschen oder verstärken. Ineinander eingesetzte Funktionen und Funktionenverkettungen, die selbst den Funktionentypen zugeordnet werden müssen, sind vielfältig rekonstruierbar. Letztlich steigt jedoch die Komplexität sehr an und die Nullstellentypen werden sehr schwer unterscheidbar.