Grundlegendes Element der Polynomdivision ist das Polynom. Es handelt sich um einen Summenausdruck, der nach dem Schema a n *x hoch n gebildet wird.

X³+5x²-3x+2 ist ein typischer Polynomausdruck. Das absolute Glied ist die 2, die keine Variable enthält. 3x ist das lineare Glied, so genannt, weil es keine Potenz größer als eins besitzt. Das quadratische Glied ist x² und das kubische Glied ist x³. Der Grad des Polynoms wird von der höchsten Potenz bestimmt. Ein Polynom siebten Grades wäre zum Beispiel: x7+ x4-x³+3x+8

Die Polynomdivision

Ein strukturiertes Vorgehen ist das A und O bei der Polynomdivision.

Ein strukturiertes Vorgehen ist das A und O bei der Polynomdivision.

Die Polynomdivision ist ein mathematisches Verfahren, das zur Berechnung von Nullstellen, etwa in der Kurvendiskussion gebraucht wird. Das Verfahren folgt der Form der Berechnung des schriftlichen Teilens ganzer Zahlen. Statt ganzer Zahlen werden zwei Polynome durch einander dividiert. Das Ergebnis sind dann wieder zwei Polynome. Das Ergebnis sollen Polynome sein, die mit den für die Nullstellenberechnung üblichen Verfahren lösbar sind.

Weitere Anwendungen sind das Lösen von Gleichungen höheren Grades. Bei rationalen Funktionen können mittels Polynomdivision Näherungskurven bestimmt werden. Die Division kann auch zur Bestimmung von Ableitungen, von Prüfsummen und bei der Partialbruchzerlegung genutzt werden. Wird der die Polynomdivision auf Divisor und Rest angewendet, so wird die Polynomrestfolge erstellt.

Ein Beispiel einer Polynomdivision

X³+3x²-x-3 : x+1

Zu Beginn der Division wird x³ durch x geteilt. Das Ergebnis ist x². x² ist nun der Term mit dem (x+1) multipliziert wird. Das Ergebnis sollte ein Term sein, der x³ aus dem Polynom nimmt.
(x³+3x²-x-3): (x+1)= x². x² wird mit (x+1) multipliziert.
-(x³+x²) Es wird nun (x³+x²) vom Polynom subtrahiert. Hierbei sind die Vorzeichenregeln zu beachten.
= 2x²-x. Das –x wird nun runter geholt und zu 2x² geschrieben. Der Ausdruck wird wieder durch x+1 dividiert.

Es wird 2x eingesetzt und mit x+1 multipliziert.
(2x²-x ):(x+1)= 2x. 2x multipliziert mit (x+1) ergibt 2x²+2x
(2x²-x)-3: (x+1)= x²+2x
-(2x²+2x) Die Subtraktion beider Terme ergibt die Auflösung von 2x² und die Addition von x zu 2x. –x wird durch die Subtraktion positiv. Das absolute Glied -3 wird nun runter geholt.
(3x-3):(x+1) Es erfolgt wieder eine Division durch (x+1).

3 wird eingesetzt und mit x+1 multipliziert. Das ergibt 3x+3.
(3x-3)-(3x+3)ergibt -6. Der Fehler liegt im Vorzeichen von 3 begründet. Also ist der richtige Term, der die Polynomdivision ohne Rest auflöst -3
Das Ergebnis der Division ist x²+2x-3. Wird dieses Polynom mit x+1 multipliziert, wird das ursprüngliche Polynom erreicht.

Die neu gewonnenen Polynome erlauben eine Nullstellenberechnung mit der pq-Formel.
Liegen Terme in der Art x+-a vor, kann mit dem Horner Schema die Division erfolgen.