Mathematische Objekte sind abstrakte Gebilde aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik wie Zahlen, Mengen und geometrische Körper. Auch Graphen, Integrale und Kohomologien gehören dazu. In der Philosophie der Mathematik beschäftigt man sich mit der Existenz und Natur von mathematischen Objekten, während die Mathematik von heute innerstrukturelle Fragen stellt, zu denen die Mengenlehre, Prädikatenlogik, Modelltheorie und Kategorientheorie gehören. Axiome, Schlussregeln und Beweise werden hierbei selbst zu mathematischen Objekten.

Geschichte

Die Definition von mathematischen Objekten hat sich über die Zeit hinweg geändert. Zu Anfang sahen Mathematiker in ihnen Zahlen und geometrische Figuren wie die alten Ägypter und Babylonier, die bereits Gleichungen lösen konnten. Danach lässt sich die Entwicklung folgendermaßen aufführen:

Bruchzahlen und inkommensurable Zahlenverhältnisse wurden von den Pythagorern entdeckt. Die Eigenschaften von geometrischen Objekten (Punkt, Gerade und Dreieck) hat Euklid in der euklidischen Geometrie ca. 300 v. Chr. zum ersten Mal definiert. Karl Weierstraß erreichte Mitte des 19. Jahrhunderts einen Durchbruch beim Rechnen mit infinitesimalen Größen. Heute kennt man mehrere Konstruktionsmöglichkeiten reeller Zahlen wie komplexe Zahlen und Quaternionen. David Hilbert ist 1899 zum ersten Mal eine vollständige und widerspruchsfreie Axiomatisierung der Geometrie gelungen. Die Mengenlehre, die zur Beschreibung mathematischer Objekte als Mengen dient, erfand Georg Cantor in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Zum Abschluss brachten erst Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel die Axiomatisierung der Mengenlehre, und zwar in den 20er Jahren mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Im 20. Jahrhundert wird die Konstruierbarkeit von mathematischen Objekten gefordert. In den 20er Jahren herrschte zuerst der Formalismus, gefolgt vom Intuitionismus. In der heutige Mathematik herrscht die Theorie, dass die Beziehungen der Objekte untereinander wichtiger sind als sie selbst, mit anderen Worten die Axiome, die diese Beziehungen festlegen.

Bezug zu formalen Systemen

Mathematische Objekte sind abstrakte Gebilde aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik.

Mathematische Objekte sind abstrakte Gebilde aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik.

Mathematische Objekte besitzen auch einen Bezug zu formalen Systemen. Die klassische Prädikatenlogik erster Stufe, die sich Variablen bedient, ist dabei das verbreitetste. Man erhält mit der Prädikatenlogik erst dann ein die Mathematik beschreibendes System, wenn sie mit Prädikaten und Axiomen ausgestaltet wird, meist mit der mengentheoretischen Grundlegung als Ansatz, die in das System die Elementrelation einführen. Dadurch werden die Objekte zu Mengen. Weichen sie von ihrem Idealzustand, also der Gleichverteilung der Punktemengen, ab, wird das als Diskrepanz bezeichnet. Folgende Axiomensysteme werden am häufigsten benutzt:

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC): Hier entsteht bei der Formalisierung des Systems ein Widerspruch zu den Axiomen.

Die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre und die Ackermann-Mengenlehre: Diese lassen die Formalisierung zu.