Der Widerspruch ist „knapp daneben, aber auch daneben“. So sagt es der ergänzende Sinnspruch aus dem Volksmund. Doch in der Mathematik ist der Widerspruch weder ein Axiom noch ein mathematischer Begriff. In der Mathematik geht es um Beweise, mithilfe der Axiome und Paradoxien. Hierzu wird auch der Widerspruch in der Mathematik gezählt.

Ein Widerspruch in einer objektiven Annahme

Das ist und war eine Herausforderung für die Universalgelehrten des Mittelalters, die zugleich Philosophen, Naturwissenschaftler und Mathematiker waren. Der Widerspruch setzte dem logischen Denken Grenzen, die es zu überwinden galt. Doch für viele Denker erwiesen sich die Paradoxien als hart zu knackende Nüsse, die wie Antagonismen Brücken zum Erreichen der gegenüberliegenden Lösung unmöglich machten. Bei den Widersprüchen in der Mathematik kann es sich

a) um Paradoxen
b) um Antinomien
c) um alternierenden Reihen

handeln. Zwischen den logischen, metaphysischen, semantischen und rhetorischen Paradoxen gibt es allen inhaltlich gemeinsam den Widerspruch der Behauptung. Die Annahme bzw. die Behauptung ist nicht ohne entsprechende „wissenschaftliche Brücke“ logisch erklärbar. Hieran beißt sich das Denken die Zähne aus. Oder besser gesagt: Hier erweist sich das herausragende Genie. Das Genie erkennt den Widerspruch als eine Herausforderung an, die gelöst werden kann. Die Annahme geht davon aus, dass es zu den gängigen und üblichen Axiomen korrelierende Annahmen gibt, die zur Lösung des Widerspruchs dienen.

Wissenschaft und fehlende Paradigmen

In der Mathematik geht es um Beweise mithilfe der Axiome und Paradoxien zu denen auch der Widerspruch zählt.

In der Mathematik geht es um Beweise mithilfe der Axiome und Paradoxien zu denen auch der Widerspruch zählt.

Die Mathematik als Wissenschaft will Beweise für Axiome, diese müssen fehlerfrei und allgemein anerkannt sein in ihrer Herleitung. Die mathematische Logik wird aber durch den mathematischen Widerspruch infrage gestellt. Es lassen sich keine bis nur wenige kleine Teilbeweise finden, die für einen axiomatischen Beweis ausreichen würden. Deshalb müssen in den mathematischen Widersprüchen Hilfssätze für die Beweistheorien gebildet werden. Um dies zu erreichen, ist es notwendig, den indirekten Beweis anzuwenden. Er besteht letztlich aus der Reduzierung auf einen Widerspruch oder Diskrepanz. Diese Reduktion ad absurdum nennt man auch den Widerspruchsbeweis. Das einfachste mathematische Absurdum ist die Annahmen von unendlichen Primzahlen. Diese Annahme wird auch Beweis des Euklids genannt.

Daneben gibt es:

1. das Burali-Forti-Absurdum
2. die Contorsche Antinomie
3. das Currys Absurdum
4. die Russelsche Antinomie
5. das Skolem Absurdum
6. die alternierenden Eulerschen Reihen
7. das Banach-Tarski-Absurdum
8. der Greling-Neslon-Antinomie

Für Nicht-Mathematiker und weniger logisch interessierte Menschen werden die Reihen der Widersprüchlichkeiten an dem sehr alten Henne-Ei-Problem. Was war denn zuerst? Dabei stellt in der mathematischen Logik das Henne-Ei-Problem eine Metapher dar, die ganz nach der individualistischen Philosophie von Arthur Schopenhauer nach dem „Grund an und für sich“ fragt. Die Mathematik denkt dabei weder über Ursache noch Grund nach. Sondern sie ist an der mathematischen Wirkung, Einsetzbarkeit und Berechnung des Absurdums interessiert.