Die Gleichverteilung ist ein Begriff aus der Mathematik, genauer aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie beschreibt eine bestimmte Eigenschaft einer Zufallsvariablen X. Das besondere an einer gleichverteilten Zufallsvariablen ist, dass alle möglichen Ereignisse mit derselben Wahrscheinlichkeit eintreten können, bzw. dass die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ereignisse ‚gleich verteilt’ sind. Bei den (eindimensionalen) Verteilungen unterscheidet man zwischen diskreten und stetigen Verteilungen und daher auch zwischen diskreter und stetiger Gleichverteilung.

Die diskrete Gleichverteilung

Eine Zufallsvariable X ist diskret, wenn sie nur endlich viele bzw. abzählbar unendlich viele Werte annimmt bzw. annehmen kann. Dies ist z. B. der Fall wenn die möglichen Ereignisse realen (fassbaren) Objekten und nicht nur schlicht Werten entsprechen (also z. B. das Ziehen von nummerierten Kugeln beim Lotto im Gegenteil zum Messen der Temperatur). Bei einer gleichverteilten diskreten Zufallsvariablen X geht man davon aus, dass X nur endlich (seien es n) viele verschiedene Werte annehmen kann und dass alle diese Werte mit derselben Wahrscheinlichkeit, nämlich 1/n, angenommen werden. Ein Beispiel für eine diskrete Gleichverteilung ist der einmalige Wurf mit einem Würfel.

Für dieses Beispiel gilt: 
X kann einen Wert aus der Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6} annehmen
P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = 1/6
für alle anderen Zahlen k gilt P(X=k) = 0

Auch wenn die Zahl k von X gar nicht angenommen werden kann, ergibt das Berechnen der Wahrscheinlichkeit von X=k keinen Widerspruch. Die Wahrscheinlichkeit ist einfach nicht vorhanden, bzw. = 0.

Die stetige Gleichverteilung

Auch im Zusammenhang mit Zahlenfolgen gebraucht man in der Mathematik den Begriff der Gleichverteilung.

Auch im Zusammenhang mit Zahlenfolgen gebraucht man in der Mathematik den Begriff der Gleichverteilung.

Bei einer stetigen Zufallsvariablen ist die Dichtefunktion von entscheidender Bedeutung. Bei einer stetigen Zufallsvariablen X ist diese Dichtefunktion fX auf einem gegebenen Intervall absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes, woher die Bezeichnung rührt. Bei einer gleichverteilten stetigen Zufallsvariablen haben nun alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit. Es gilt dann formell für die Dichtefunktion fX(u) = 1/(b-a), für u aus dem Intervall [a, b] und fX(u) = 0, falls u außerhalb des Intervalles liegt. Im Gegenteil zur diskreten Zufallsvariablen betrachtet man im stetigen Fall nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt sondern dass der angenommene Wert in einem bestimmten Intervall liegt. Diese Wahrscheinlichkeit stimmt mit dem Verhältnis der Intervalllängen überein. Es gilt für ein Teilintervall [c, d] von [a, b]: P(X liegt in [c, d]) = (d-c)/(b-a). Die Gleichverteilung über einem Intervall [a, b] ist ein stochastisches Modell für das Experiment, zufällig eine Zahl zwischen a und b zu wählen.

Die Gleichverteilung modulo 1

Auch im Zusammenhang mit Zahlenfolgen gebraucht man in der Mathematik den Begriff der Gleichverteilung, genauer der Gleichverteilung modulo 1. Eine Folge reeller Zahlen bezeichnet man als gleichverteilt modulo 1, wenn die Anzahl der Folgeglieder in einem Intervall genau gegen die Länge dieses Intervalls konvergiert. Weicht die Verteilung der Folge von der Gleichverteilung ab, so spricht man von einer Diskrepanz dieser Folge.