Kaum eine geometrische Form hat die Geschichte der Mathematik so beeinflusst wie das rechtwinklige Dreieck. Schon im alten Ägypten plante man mit Hilfe von Knotenschnüren und rechtwinkligen Dreiecken ganze Städte und monumentalste Bauwerke. Auch der Grieche Pythagoras ist heute noch den Meisten ein Begriff.

Seine Lehrsätze sind noch immer fester Bestandteil eines jeden Mathematik Leerplans und Generationen von Schülern mussten sich damit beschäftigen. Aus den Besonderheiten des rechtwinkligen Dreiecks hat sich ein ganzes Teilgebiet der Mathematik bzw. der Geometrie entwickelt, die Trigonometrie. Die Erkenntnisse der Trigonometrie haben entscheidend zur Weiterentwicklung der Navigation, Astronomie, Physik und der Schwingungslehre beigetragen und finden noch heute in unzähligen Bereichen des alltäglichen Lebens Anwendung. Doch was ist eigentlich die Besonderheit des rechtwinkligen Dreiecks und warum ist es ein so wichtiger Bestandteil der Geometrie?

Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?

Die Definition des rechtwinkligen Dreiecks ist recht einfach. Jedes Dreieck, das einen rechten Winkel, also 90 Grad Winkel, aufweist wird als rechtwinkliges Dreieck bezeichnet. Die gegenüber liegende Seite nennt sich in einem solchen Dreieck Hypotenuse und die beiden anliegenden Seiten werden als Katheten bezeichnet.

Welche Besonderheiten hat das rechtwinklige Dreieck?

Da die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180 Grad betragen muss, haben die beiden anderen Winkel in der Summe 90 Grad. Weil die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber liegt, ist sie in einem solchen Dreieck immer die längste Seite. Über die Größe einzelner Winkel und Seiten lassen sich über verschiedene mathematische Funktionen und Formeln die restlichen Größen im Dreieck bestimmen. So ist das komplette Dreieck berechenbar durch den rechten Winkel, eine Seite sowie einen weiteren Winkel oder eine weitere Seite.

Welche mathematischen Erkenntnisse folgen daraus?

Die Länge der Seite der Hypotenuse ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Dieser lautet: „Im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich das Quadrat über der Hypotenuse aus der Summe der beiden Kathetenquadrate.“ In einer Formel ausgedrückt: a² + b² = c². Über den Einheitskreis mit dem Radius eins und den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens lassen sich bei bekanntem Winkel die einzelnen Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks bestimmen. Trägt man Kosinus und Sinuswerte in einem Koordinatensystem in Abhängigkeit der Winkelwerte auf, erhält man Diagramme, die in der Schwingungslehre und vielen Bereichen der Physik zur mathematischen Beschreibung von periodischen Vorgängen eine wichtige Rolle spielen. Die mathematischen Abhängigkeiten in einem Dreieck mit einem rechten Winkel gelten als spezieller und vereinfachter Fall der Trigonometrie und folgen aus den allgemeinen mathematischen Beziehungen des allgemeinen Dreiecks. Sie lassen sich in Teilen auch auf sphärische, dreidimensionale Formen übertragen.