Man kann Vektoren aus R² nicht nur addieren, subtrahieren und mit reellen Zahlen multiplizieren, sondern man kann auch zwei Vektoren miteinander multiplizieren.

Eine Erläuterung anhand eines Beispiels:

a) Eine Firma kauft a Nägel zu b € pro Stück. Nun soll eine Formel für den Gesamtpreis G aufgestellt werden.

b) Die Firma kauft a1 Nägel zu b1 € pro Stück und a2 Schrauben zu b2 € pro Stück. Hier soll ebenfalls eine Formel für den Gesamtpreis G aufgestellt werden.

Lösung:

a) G = Stückzahl.Stückpreis = a.b
b) G = a1.b1 + a2.b2

In dieser Aufgabe liegt es nahe, in b) den Stückzahlvektor und den Stückpreisvektor einzuführen und analog zu a) zu schreiben: G = Stückzahlvektor.Stückpreisvektor

Diese Schreibweise ist aber zunächst sinnlos, weil man ja noch kein Produkt von Vektoren definiert hat. Setzt man jedoch das Produkt dieser beiden Vektoren gleich a1.b1 +a2.b2, dann ist diese Schreibweise gerechtfertigt. Man definiert also:

Es seien A,B ist Element der Menge R². Die reelle Zahl A.B = a1.b1 + a2.b2 heißt skalares Produkt beziehungsweise Skalarprodukt der Vektoren A und B.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl.

Zu beachten gilt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren kein Vektor ist, sondern eine reelle Zahl. Das ist auch der Grund dafür, warum dieses Produkt als skalares Produkt oder Skalarprodukt bezeichnet wird. Die reellen Zahlen heißen nämlich auch Skalare, weil sie auf einer Skala abgelesen werden können.

Rechengesetze für das Skalarprodukt

Das skalare Produkt von Vektoren kann als eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Produkts reeller Zahlen angesehen werden. Fasst man nämlich eine reelle Zahl als ein Element der Menge R1 auf, also als einen Vektor mit nur einer Koordinate, dann entspricht das Skalarprodukt dem gewöhnlichen Produkt reeller Zahlen:
(a1).(b1)=a1.b1

Für das Skalarprodukt von Vektoren gelten auch ähnliche Rechengesetze wie für das Produkt reeller Zahlen. Im folgenden Satz sind drei grundlegende Gesetze angeführt, von denen jetzt (SP2) exemplarisch bewiesen wird.

Für alle A,B,C Menge aus R² und alle r Menge aus R gilt:

(SP1) A.B=B.a
(SP2) (A+B).C=A.C+B.C
(SP3) (r.A).B=r.(A.B)

Aus den drei Grundgesetzen (AP1), (SP2), (SP3) kann man weitere Rechengesetze für das Skalarprodukt herleiten, ohne Koordinaten einführen zu müssen.

Nützlicher Merksatz: Das Quadrat des Betrags eines Vektors ist gleich dem Quadrat des Vektors.