Es gibt in der Vektorrechnung zwei Arten der Multiplikation von Vektoren, das Skalarprodukt und das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt). Der Unterschied ist, dass beim Skalarprodukt das Ergebnis eine Zahl (Skalar) ist während beim Vektorprodukt das Ergebnis ein Vektor ist, der senkrecht auf seinen Ausgangsvektoren steht.

Es gilt: axb= ([a]*[b]*sin(a,b)*n
a und b sind die Ausgangsvektoren und sin(a,b) ist der Sinus, des von ihnen eingeschlossenen Winkels. n entspricht dem Einheitsvektor.

Wie berechnet man das Vektorprodukt?

Da das Vektorprodukt einen neuen Vektor darstellt, wird dieser komponentenweise aus den Vektoren a und b errechnet und es ergeben sich die Komponenten des neuen Vektors.

Vektor a=(a1,a2,a3)
Vektor b=(b1,b2,b3)
Vektorprodukt: axb= (a1,a2,a3)x(b1,b2,b3)= (a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)

Ein Zahlenbeispiel:
Vektor a=(1,2,3)
Vektor b=(4,5,6)
Vektorprodukt: axb= (2*6-3*5,3*4-1*6,1*5-2*4)= (-3,6,-3)

Was kann das Vektorprodukt?

Bildet man das Vektorprodukt zweier Richtungsvektoren, erhält man den Normalenvektor der Ebene, die von den Richtungsvektoren aufgespannt wird. Mit dem Normalenvektor ist es anschließend möglich die Koordinatengleichung einer Ebene aufzustellen.
Weiterhin kann man mithilfe des Kreuzprodukts Flächeninhalte von Dreiecken und Parallelogrammen berechnen, sowie Volumina von drei- und vierseitigen Pyramiden.

Flächeninhalt von einem Dreieck und einem Parallelogramm:

Für den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC, stellt man zwei Richtungsvektoren z.B. AB und AC auf. Anschließend bildet man das Kreuzprodukt aus den beiden Vektoren und berechnet den Betrag. Zuletzt wird das Ergebnis mit 1/2 multipliziert.

Mithilfe des Vektorprodukts kann man Volumina von drei- und vierseitigen Pyramiden berechnen.

Mithilfe des Vektorprodukts kann man Volumina von drei- und vierseitigen Pyramiden berechnen.

A(Dreieck)= 1/2*[ABxAC]

Für ein Parallelogramm ABCD, das sich aus zwei Dreiecken zusammensetzt, ergibt sich die selbe Vorgehensweise für die Berechnung des Flächeninhalts. Hierbei entfällt die Multiplikation mit 1/2.

A(Parallelogramm)= [ABxAD]

Volumenberechnung von Pyramiden:

Die Grundseite einer vierseitigen Pyramide entspricht einem Parallelogramm (eingeschlossen sind jegliche Rechtecke, sowie Quadrate und Rauten). Für die Volumenberechnung einer Pyramide ABCDS wird das Kreuzprodukt von den Vektoren AB und AD gebildet und anschließend eine Skalarmultiplikation mit dem Vektor AS durchgeführt. Zum Schluss wird der Betrag mit 1/3 multipliziert.

V(vierseitige Pyramide)= 1/3 [(ABxAD)*AS]

Für die Volumenberechnung einer dreiseitigen Pyramide verfährt man ähnlich.

V(dreiseitige Pyramide)= 1/6 [(ABxAD)*AS]

Grundsätzlich sind noch folgende Gesetze für das Vektorprodukt zu beachten:

Das Distributivgesetz gilt: ax(b+c)= axb+axc
Das Kommutativgesetz gilt nicht. Stattdessen gilt: axb= –bxa