Ein Vektor wird in der analytischen Geometrie als ein mathematisches Objekt angesehen, welcher zu einem definierten Punkt im Koordinatensystem zeigt oder eine definierte Richtung im Koordinatensystem angibt. Hierbei kann das Koordinatensystem zum Beispiel 2 oder 3 Raumebenen beschreiben.

So wird hierbei zwischen Ortsvektoren und Richtungsvektoren unterschieden. Ein Ortsvektor geht immer von einem festen definierten Punkt aus. Bei der Vektorrechnung ist dies meist der Ursprung des Koordinatensystems. Das heißt über den Ortsvektor kann direkt auf einen Punkt im Koordinatensystem geschlossen werden. Ein Richtungsvektor dagegen hat zwar dieselbe Erscheinungsform wie ein Ortsvektor, kann aber von einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem starten.

Die Abhängigkeit von Vektoren untereinander

Vektoren können auch untereinander gewisse Beziehungen aufweisen. So werden beispielsweise Vektoren, welche folgende Beziehung erfüllen als linear abhängig – oder kollinear – bezeichnet:
a = r * b für r ungleich 0

Wichtige Operationen in der Vektorrechnung

In der Vektorrechnung gibt es eine Menge möglicher Rechenoperationen mit Hilfe welcher man beispielsweise ganze Ebenen oder fehlende Richtungskoordinaten von Vektoren bestimmen kann. Im folgenden sollen die wichtigsten Rechenoperationen kurz dargestellt werden.

Bei der Vektorrechnung ist der Ortsvektor meist der Ursprung des Koordinatensystems.

Bei der Vektorrechnung ist der Ortsvektor meist der Ursprung des Koordinatensystems.

Addiert man zwei Vektoren a und b ergibt sich ein neuer Vektor c für den gilt:
(ax, ay, az) + (bx, by, bz) = (cx, cy, cz)
Mit cx = ax + bx; cy = ay + by; cz = az + bz

Auch die Subtraktion von zwei Vektoren funktioniert in ähnlicher Weise, dass die jeweiligen Koordinaten jeweils einzeln subtrahiert werden. So gilt:
(ax, ay, az) – (bx, by, bz) = (cx, cy, cz)
Mit cx = ax – bx; cy = ay – by; cz = az – bz

Bei der Multiplikation von Vektoren werden die einzelnen Koordinaten auch einzeln miteinander multipliziert. Jedoch ergibt sich als Ergebnis kein neuer Vektor, sondern ein Skalar – also eine reelle Zahl – der beiden Vektoren. Daher wird dieses auch Skalarprodukt genannt. Berechnet wird dies über:
(ax, ay, az) * (bx, by, bz) = ax*bx + ay*by + az*bz

Allgemein gilt noch, dass zwei senkrecht aufeinander stehende Vektoren ein Skalarprodukt von 0 aufweisen. Diese Beziehung wird in der Vektorrechnung oft eingesetzt um zum Beispiel fehlende Koordinaten eines Vektors zu bestimmen.

Die Länge bzw. der Betrag eines Vektors wird normalerweise über den Satz von Pythagoras berechnet. So gilt beispielsweise für einen Vektor im R3-Koordinatensystem folgende Beziehung für seinen Betrag:
|a| = wurzel( ax^2 + bx^2 + cx^2)

Neben diesen „Grundrechenarten“ in der Vektorrechnung gibt es jedoch noch weitere wichtiger Beziehungen.

Kreuzprodukt
Spatprodukt

Aus dem Kreuzprodukt – auch Vektorprodukt – zweier Vektoren ergibt sich ein dritter Vektor. Dieser steht auf der Ebene, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird, senkrecht. Zudem kann durch die Bestimmung des Betrags dieses Vektors direkt auf den Flächeninhalt der Ebene geschlossen werden. In der Vektorrechnung gilt als Rechenoperator für das Kreuzprodukt das Malkreuz „x“. Berechnet wird das Kreuzprodukt folgendermaßen:

a x b = (ax, ay, az) x (bx, by, bz)
x-Richtung: (ay*bz – az*by)
y-Richtung: (az*bx – ax*bz)
z-Richtung: (ax*by – ay*bx)

Mit dem Spatprodukt dreier Vektoren kann der Rauminhalt des aufgespannten Spats – auch Parallelepiped genannt – berechnet werden. Das Spatprodukt kann hierbei positiv oder negativ sein, das heißt, dass hierbei das orientierte Volumen berechnet wird. Das nominelle Volumen erhält man über den Betrag des Spatprodukts. Berechnet wird das Spatprodukt über das Skalarprodukt aus dem Kreuprodukt zweier Vektoren und einem weiteren Vektor. Es gilt:

Spatprodukt (a, b, c) = (a x b) * c