Die lineare Algebra ist ein großer Teil der Mathematik. Dort rechnet man mit Vektoren, Abbildungen, Gleichungssystemen und Matrizen. In diesem Artikel soll es über die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren gehen. Es wird erklärt was es genau heißt und wie man diese Abhängigkeit überprüfen kann. Dazu werden auch einige kürze Beispiele zur Erläuterung gegeben.

Wenn man nun von zwei Vektoren ausgeht, sind sie linear abhängig, wenn sie parallel sind. Diese allgemeine Aussage trifft auch in einem mehrdimensionalen Raum zu. Geht man zuerst von dem einfachen Fall aus, dass sich die beiden Vektoren auf einer Ebene befinden, muss man nur ein Gleichungssystem aufstellen. Wenn die beiden Vektoren linear Abhängig zueinander sind, gibt es eine reelle Zahl mit der man einen der beiden Vektoren multiplizieren kann, um den ersten Vektor zu erhalten. Bei einer beispielhaften Rechnung sind die beiden Vektoren (3/ -3) und (-1/ 1) gegeben. Mit der Erklärung kann man also davon ausgehen, dass (3/ -3) = x * (-1/ 1) zutrifft.

Man erhält zwei Gleichungen:
3 = -x
-3 = x

X hat also den Wert „-3“. Wenn man mithilfe der Gleichungen eine Zahl für die Variable x ermitteln kann, sind die beiden Vektoren linear Abhängig.
Jetzt sind die beiden Vektoren (4/ 4) und (3/ 1) gegeben. Daraus erhält man folgende Gleichungen:

4 = 3x
4 = x

Wie man auf Anhieb sehen kann, gibt es keine Lösung für diese beiden Gleichungen. Diese beiden Vektoren besitzen diese Abhängigkeit also nicht.

Für die Überprüfung einer linearen Abhängigkeit muss man eine Matrix aufstellen.

Für die Überprüfung einer linearen Abhängigkeit muss man eine Matrix aufstellen.

Nun geht man von zwei Vektoren aus, die sich im Raum befinden. Hierbei geht man genauso vor, wie in den vorherigen Beispielen. Gegeben sind die Vektoren (-1/ 3/ -6) und (3/ -9/ 18). Wieder muss man Gleichungen aufstellen, nun allerdings drei.

-1 = 3x
3 = -9x
-6 = 18x

Hier gibt es eine Lösung für alle Gleichungen. Der X-Wert „-1/3“ löst alle Gleichungen. Wichtig dabei ist, dass wirklich alle Gleichungen gelöst werden und nicht nur eine oder zwei. Diese beiden Vektoren, welche sich im Raum befinden, sind also auch linear voneinander Abhängig.

Die beiden Vektoren (1/ 2/ 3) und (2/ 4/ -6) sind ein Beispiel, für linear unabhängige Vektoren. Wenn man nun die drei Gleichungen aufstellt erhält man folgende Gleichungen:
1 = 2x
2 = 4x
3 = -6x

Auch wenn der X-Wert „1/2“ die ersten beiden Gleichungen lösen könnte, reicht das nicht aus um die lineare Abhängigkeit zu beweisen. Grund dafür ist, dass der X-Wert „1/2“ nicht die dritte Gleichung erfüllt. 3 = -3 trifft nämlich nicht zu.

Für die Überprüfung einer linearen Abhängigkeit von drei Vektoren muss man eine Matrix aufstellen und die Determinante ausrechnen. Wenn diese den Wert „0“ hat, sind alle drei Vektoren linear voneinander Abhängig.