Terme der Form, Summe aus zwei Platzhaltern für Zahlen hoch einer Potenz, geben Anlass zu einer Schreibung in Form einer Summe aus Potenzen der Platzhalter für eine der beiden Zahlen multipliziert mit einem Koeffizienten. Der Koeffizient wird im Einführungsunterricht deutscher Prägung als Binomialkoeffizient identifiziert.

Die beiden Platzhalter werden benannt. Die Koeffizienten heißen Binomialkoeffizienten oder deutscher Zweinamigekoeffizienten. Eine Tabelle aus ihnen heißt Pascal‘ sches Dreieck. Der Binomialkoeffizient hat in der Analysis und der Theorie komplexer Zahlen eine große wissenschaftliche Bedeutung bei der Entwicklung von Reihen nach dem binomischen Lehrsatz.

Dies ist ein Begriff aus der Kombinatorik. Die kombinatorische Bedeutung des Binomialkoeffizienten ist die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen ununterscheidbarer oder nicht unterschiedener Objekte aus einer mächtigeren Anzahl n von Objekten.

einfache Binomialkoeffizient

Der einfachste Binomialkoeffizient ist der von der nullten Potenz also 1. Die Summe aus zwei Werten hat vor jedem einzelnen Wert ebenfalls je eine 1 stehen. Die Quadratsumme oder die Summe zum Quadrat legt die Binomialkoeffizienten 1, 2 und 1 fest, weil der gemischte Term aufgrund der Kommutativität der als zugrunde liegend erachteten reellen Zahlen addiert werden kann. Das Pascal‘ sche Dreieck kann induktiv als für alle natürlichen Potenzen gültig bewiesen werden. Es gibt ein Additionsgesetz mit der der n+1-ten Potenz aus zweien der n-ten Potenz berechnet werden können. Heuristisch ist es über die ersten drei Potenzen erkennbar. Je die Summe der beiden Koeffizienten der n-ten Potenz ergeben den n+1-ten. Schreibt man dies in ein geeignetes auf Lücke geschriebenes Tabellenmuster, ergibt sich eine sich erweiternde Dreiecksstruktur.

Der Binomialkoeffizient ist der komplexe Höhepunkt der Termeinführung und -vertiefung in der Sekundarstufe.

Der Binomialkoeffizient ist der komplexe Höhepunkt der Termeinführung und -vertiefung in der Sekundarstufe.

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen und Einschränkungen des Binomialkoeffizienten. Aufgrund seiner didaktischen Bedeutung hat er in der Sekundarstufe keine wesentlichen Konkurrenten. Er ist der komplexe Höhepunkt der Termeinführung und – vertiefung, kommt in den anderen naturwissenschaftlichen Fächer gebührend zum Gebrauch und leistet in der Kombinatorik seinen Dienst. Eine Mindmap enthält die verwandte Fakultät in engem Bezug.

Fakultät von Binominalkoeffizienten

Mit der Fakultät ist der Binomialkoeffizient die Fakultät der Potenz dividiert durch das Produkt der Fakultät verbliebenen Potenzen und der Differenz der Potenz und der verbliebenen Potenzen. Der Binomialkoeffizient 4 und 2, der doppelt vorkommt, ist folglich 4 Fakultät, 24, geteilt durch 2 mal 2 und somit 6. In dieser Definition sind die Einschränkungen auf die natürlichen Zahlen und die positive Differenz sinnvoll aber nicht zur Berechnung notwendig.

Die Summe der Binomialkoeffizienten beträgt in der n-ten Potenz 2 hoch n. Mit dieser Regel und den anderen gibt es für die Berechnung eines Koeffizienten genügend Lernmöglichkeiten. Die kombinatorischen Bedeutungen bleiben selbst heute außerhalb der abzählbaren Statistik. Die Valenz von ihnen ist ein Thema weit über die Komplexitätstheorie und die Stochastik hinaus und vielen wissenschaftlichen Anwendungen. Und beständig wird die Analysis verbessert mit neuen Fakten dieser außergewöhnlich bedeutenden Koeffizienten.