Der Erwartungswert ist eine der wichtigsten Größen in der Stochastik und hat auch bei der Entscheidungsfindung im Alltag große Relevanz. Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable X ist definiert als die Summe aller möglichen Ausprägungen von X, gewichtet mit deren Wahrscheinlichkeiten. Also jener Wert, den X im Mittel annimmt.

Als einfaches Beispiel betrachten wir die Augenzahl eines Würfels. Unsere Zufallsvariable X kann somit die Werte 1, 2, 3, 4, 5, und 6 annehmen. Wir gehen davon aus, dass der Würfel fair ist, somit ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis jeweils 1/6. Somit ist E(X) = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 21/6 = 3,5.

Praktischer Nutzen

Ursprünglich wurde der Erwartungswert zur Analyse von Glücksspielen benutzt. Ist der Erwartungswert der Auszahlungen eines Spiels höher als der Einsatz, gewinnt der Spieler auf lange Sicht gesehen. Im umgekehrten Fall gewinnt die Bank.

Der Erwartungswert wird auch bei der Analyse von Glücksspielen eingesetzt.

Der Erwartungswert wird auch bei der Analyse von Glücksspielen eingesetzt.

Als weiteres Beispiel betrachten wir Roulette. Beim französischen Roulette gibt es 18 schwarze und 18 rote Felder, sowie einmal die Null. Setzt man auf eine Farbe und gewinnt, verdoppelt man seinen Einsatz. Angenommen wir setzen 100€ auf Schwarz. 18 von 37 Feldern sind schwarz, somit ist die Gewinnchance 18/37. Unser erwarteter Gewinn X ist demnach E(X) = 200€ * 18/37 = 97,30€. Somit verlieren wir jedes Mal im Schnitt 2,70€.

Ein weiteres wichtiges Anwendungsfeld sind Kapitalanlagen. Ist es sinnvoller sein Geld aufs Sparkonto zu legen, in festverzinsliche Wertpapiere zu investieren oder doch lieber Aktien zu kaufen? Der Erwartungswert kann hier wertvolle Antworten liefern.

Risiko

Gerade wenn es um Finanzen geht, muss allerdings auch das Risiko differenziert betrachtet werden. Wenn es um größere Summen geht, sind die meisten Menschen risikoavers, d.h., sie sind nicht bereit manche Risiken einzugehen, selbst wenn der erwartete Gewinn positiv ist. Zum Beispiel wären die meisten Menschen nicht bereit, 10.000€ auf einen Münzwurf zu setzen, wenn sie im Gewinnfall 10.100€ gewinnen würden, obwohl E(X)=0,5 * 10.100€ – 0,5 * 10.100€ = 100€ und sie somit im Schnitt 100€ pro Münzwurf gewinnen würden.

Ein stochastisches Mittel um Risiko zu quantifizieren ist die Varianz. Sie ist definiert als die erwartete quadratische Abweichung vom Erwartungswert. Je höher die Varianz, desto breiter sind die möglichen Ergebnisse gestreut. Im obigen Beispiel des Münzwurfs ist somit V(X) = 0,5 * (10.100€ – 100)² + 0,5 * (10.000€ – 100)² = 99.900.050€². Aufgrund der gigantischen Varianz ist es in diesem Fall sinnvoll für risikoaverse Personen das Spiel nicht anzunehmen.

Da die quadratische Eigenschaft der Varianz häufig unerwünscht ist, wird stattdessen oft die Standardabweichung benutzt, welche einfach die Quadratwurzel der Varianz ist. In unserem Beispiel also 9995€.