Definition: Was ist der Erwartungswert?

Der Erwartungswert ist der Mittelwert bei Zufallsereignissen. Zufallsereignisse sind Ereignisse, die mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit auftreten. Bestes Beispiel ist die Ziehung der Lottozahlen oder ein Würfelwurf. Bei einem Würfel haben alle sechs Seiten die gleiche Wahrscheinlichkeit, aufzutreten. Würfelt man unendlich oft, dann stellt sich ein Erwartungswert für die Anzahl der unterschiedlichen Augenzahlen ein. Nach unendlich vielen Würfen, tritt jede Augenzahl in gleicher Anzahl auf. Mit dem Erwartungswert kann man bei Zufallsexperimenten die Anzahl der zu erwartenden Ergebnisse berechnen.

Berechnung, Binomiale Verteilung, Kombinatorik und das Pascalsche Dreieck

Ein binomialverteiltes Zufallsexperiment setzt voraus, dass die nacheinander durchgeführten Experimente voneinander unabhängig sind. Der erste Wurf eines Würfels, hat keine Auswirkungen auf den zweiten Wurf. Der Würfel merkt sich nicht, welche Augenzahl beim ersten Wurf geworfen wurde. In diesem Fall ist das Zufallsexperiment binomialverteilt und unabhängig. Beim Lotto sind die Ergebnisse voneinander abhängig. Bereits gezogene Kugeln, werden nicht mehr in die Lostrommel zurückgelegt. Dadurch verändert sich die Wahrscheinlichkeit nach jeder Ziehung. Ein binomialverteiltes Zufallsexperiment setzt also voraus, dass die Wahrscheinlichkeit immer gleich ist. Bei einer sehr hohen Anzahl an Versuchen oder Kugeln kann man das Experiment als annähernd binomialverteilt ansehen.

Sowohl Binomialverteilung als auch Normalverteilung können Elemente der Kombinatorik sein. Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, verschiedene Ergebnisse zu erhalten. Eine typische Frage ist deshalb zum Beispiel: Wie viele Varianten gibt es, drei Objekte aus einer Menge von vier Objekten in unterschiedlichen Reihenfolgen zu ziehen, beziehungsweise anzuordnen. Die Binomialverteilung lässt sich anhand des Pascalschen Dreiecks grafisch darstellen. Unterschiedliche Zahlen werden in Dreiecksform angeordnet und nach einem Bildungsgesetz verknüpft. Wir haben es mit einer geometrischen Darstellung zu tun, mit der Aufgaben im Bereich der Kombinatorik gelöst werden können. Es dient zur Darstellung des Binomialkoeffizienten, gibt also an, wie viele Varianten es gibt, verschiedene Objekte aus der Anzahl der vorhandenen Objekte tatsächlich zu ziehen. Der Aufbau ist simpel: In der ersten Zeile (von oben) und in der zweiten Zeile wird jeweils eine 1 notiert. Die darauffolgenden Zeilen starten und enden mit der Ziffer 1. Die weiteren Ziffern werden mit den errechneten Summen der Zahlen darüber geschlossen.

Berechnung des Erwartungswerts:

Der Erwartungswert bedient sich der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Er ist der Mittelwert der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Man erhält den Erwartungswert, durch die Addition der vorher gewichteten Zufallsgrößen.