Bei der Binomialverteilung handelt es sich um einen mathematischen Begriff aus der Kombinatorik. Es handelt sich um eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ergebnisse verteilen. Diskrete Verteilung bedeutet, dass es sich um eine endliche oder abzählbare Menge handelt.

Der Binomialverteilung liegt ein Bernoulli-Versuch zugrunde, bei dem es jeweils genau zwei Ergebnisse (Erfolg oder Misserfolg, schwarz oder weiss, null oder eins) gibt. Die Anzahl von Erfolgen in einer Versuchsreihe mit gleichartigen und voneinander unabhängigen Bernoulli-Versuchen wird dann durch die Binomialverteilung beschrieben.
Die Formel für diese Verteilung lautet: B (k | p, n). Dabei bedeutet k die Anzahl der Erfolge, p die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Versuchs und n die Anzahl der Versuche.
Die Berechnungsformel ist:

B(k | p, n) = binom nk p^k (1-p)^{n-k}

In der Berechnungsformel der Binomialverteilung kommt der sogenannte Binomialkoeffizient vor. Das Symbol für den Binomialkoeffizienten ist:

binom nk

Gesprochen wird das „n über k“. Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man eine Anzahl von k Objekten aus einer Menge von n verschiedenen Objekten ziehen kann.

Das Ausrechnen der einzelnen Wahrscheinlichkeiten bei der Binomialverteilung kann schnell recht kompliziert werden. Tabellen und Tafelwerke, in denen die Ergebnisse für gängige Werte für n, k und p aufgelistet sind, bieten dabei Hilfe.

Einige Beispiele

Das Würfeln ist ein Beispiel für dei Binomialverteilung.

Das Würfeln ist ein Beispiel für dei Binomialverteilung.

Für die Binomialverteilung wird häufig das Urnenmodell verwendet. Es befinden sich weiße und schwarze Kugeln in einer bestimmten Anzahl in der Urne. Beim Ziehen einer Kugel kann man entweder eine weiße oder eine schwarze Kugel ziehen – beides mit einer gewissen Wahscheinlichkeit. Ein Bernoulli-Experiment mit dieser Urne wäre es nun, sechs Kegeln zu ziehen, wobei jede Kugel nach dem Ziehen sofort zurückgelegt wird.
Ein anderes Beispiel für die Binomialverteilung ist das Würfeln. Man könnte zum Beispiel 20-mal Würfeln, wobei jede Augenzahl größer als 4 als Erfolgsergebnis gewertet wird.
Auch das mehrmalige Werfen einer Münze ist ein klassisches Beispiel für Binomialverteilungen.

Praktische Anwendungen

Die Binomialverteilung wird vielfältig praktisch angewendet. Angewendet wird sie zum Beispiel für das Testen von Hypothesen. Auch für die statistische Qualitätskontrolle und für verdeckte Befragungen wird diese Verteilung angewendet. und bei der Berechnung des Kernzerfalls, bei den Mendelschen Gesetzen und bei Wahlen kommen ebenfalls diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Anwendung.