Beim Pascalschen Dreieck handelt es sich um eine grafische Darstellung von Binomialkoeffizienten. Durch diese Darstellung wird das ermitteln der Ergebnisse auf einfache Weise möglich.

Um zu verstehen, was das Pascalsche Dreieck und seine Ergebnisse darstellen und was man mit diesen anfangen kann, muss man zunächst verstehen, was der Binomialkoeffizient aussagt.

Der Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient beschreibt die Möglichkeiten die man hat, eine bestimmte Anzahl Objekte aus einer bestimmten Menge von Objekten auszuwählen. Dabei wird berücksichtigt, dass nichts doppelt ausgewählt werden kann. Zudem wird berücksichtigt, dass die Reihenfolge keine Bedeutung hat.

Der wohl bekannteste Anwendungsfall ist das Lottospiel: Es werden 6 Zahlen aus 49 gezogen, d. h. 6 Objekte (Kugeln) werden aus 49 ausgewählt. Da keine Kugel in die Trommel zurückgelegt wird, kann jede Zahl nur einmal gewählt werden. Die Reihenfolge der Ziehung spielt bekanntlich beim Lotto ebenso keine Rolle. Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der möglichen Kombinationen an.

Das pascalsche Dreieck zum Ermitteln des Binomialkoeffizienten verwenden

Im pascalschen Dreieck wird von oben ausgehend eine Reihe nach der anderen mit immer ansteigenden Zahlen befüllt. So beginnt man an der Spitze mit „0 aus 0“ Möglichkeiten. In jeder neuen Zeile addiert man eins zur Anzahl der Menge der Objekte – um beim Beispiel des Lotto Spielens zu bleiben: Man fügt eine weitere Kugel in die Trommel. In jeder Spalte fügt man eine weitere Anzahl der Auswahlobjekte hinzu.

So sieht die Reihe zwei folgendermaßen aus: „0 aus 1“ und „1 aus 1“ in der Dritten Zeile wird dann wiederum die Anzahl der Objekte erhöht, d.h. hier stehen „0 aus 2“, „1 aus 2“ und „2 aus 2“. So kann das pascalsche Dreieck beliebig weiter ausgefüllt werden.

Eine Erhöhung der ausgewählten Möglichkeiten ist nicht möglich, da nicht mehr als „2 aus 2“ gezogen werden können (z. B. 3 aus 2 zu wählen ist nicht möglich) und der weitere Binomialkoeffizient immer 0 wäre. Die Binomialkoeffizienten ganz rechts ergeben immer 1, weil „1 aus 1“ immer nur genau eine mögliche Kombination hat, ebenso „2 aus 2“, „3 aus 3“ usw. Der Wert ganz links ist ebenso immer 1. Das ist so, weil die 0 per Definition immer eine mögliche Auswahl aus einer beliebigen Anzahl ist. Man kann immer aus einer Auswahl keine Objekte nehmen, das ist genau eine einzige Kombination.

Wenn man nun die Ergebnisse der übrigen Koeffizienten durch das pascalsche Dreieck berechnen will rechnet man jeweils die beiden über diesem Wert stehenden Ergebnisse zusammen. So ergibt das pascalsche Dreieck auf sehr einfache Weise, nämlich durch Addition, die Ergebnisse der einzelnen Binomialkoeffizienten.

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Ermitteln der Wahrscheinlichkeit mit dem Binomialkoeffizienten

Anhand des Binomialkoeffizienten lässt sich anschließend die Wahrscheinlichkeit berechnen, die Wahrscheinlichkeit, eine der möglichen Kombinationen zu erreichen ist „1/Binomialkoeffizient“. Mit dieser Wahrscheinlichkeit lässt sich unter anderem auch der Erwartungswert ausrechnen. Dieser gibt beim Lottospiel z. B. an, wie viele Gewinner bei einer bestimmten Anzahl von Mitspielern zu erwarten sind.