Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens vorkommender Kombinationsmöglichkeiten.

Die Binomialverteilung

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit innerhalb der Kombinatorik kann mit Hilfe der Binomialverteilung durchgeführt werden. Die Binomialverteilung kann immer dann in der Kombinatorik verwendet werden, wenn sogenannte alternative Entscheidungen getroffen werden können. Eine alternative Entscheidungsmöglichkeit besteht immer dann, wenn zwischen exakt zwei Möglichkeiten nur eine einzige Auswahl getroffen werden kann. Klassisches Beispiel in der Kombinatorik ist der Münzwurf, bei der nur eine Lösung in Betracht kommt, nämlich Kopf oder Zahl.

Bei der Binomialverteilung bedient man sich der Binomialkoeffizienten. Die Binomialkoeffizienten geben dabei an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Ergebnis bei einer Stichprobe erhalten werden kann.

Das Pascalsche Dreieck

Ein Pascalsche Dreieck ist ein probates Hilfsmittel in der Kombinatorik. Es hat einen typischen Aufbau und ist leicht konstruiert.

In der ersten Zeile steht eine „1“. Die endständigen Diagonalen zu beiden Seiten besitzen in jeder Zeile ebenfalls eine „1“. Die restlichen Ziffern des Pascalschen Dreiecks ergeben sich jeweils durch die Addition der links und rechts darüber stehenden Zahlen.

Jede Stufe des Pascalschen Dreiecks ist dabei nichts anderes als die Binomialverteilung. Aus dem Pascal’schen Dreieck lassen sich die einzelnen Binomialkoeffizienten einer binomischen Formel direkt ablesen. Aufgrund der einfachen Konstruktion des Pascalschen Dreiecks ist dieses ein ideales Hilfsmittel für die Konstruktion bzw. die Auflösung von binomischen Formeln, wie sie in der Kombinatorik ihre Anwendung finden.

Die erste Zeile des Pascalschen Dreiecks ist eine bionomische Formel zur Potenz „0“. Diese ist definitionsgemäß gleich „1“.

Die zweite Zeile des Pascal’schen Dreiecks ist eine binomische Formel zur Potenz „1“.

Die dritte Zeile des Pascal’schen Dreiecks ist die allseits aus der Schulmathematik bekannte binomische Formel zur Potenz „2“:

(a + b)²;
oder ausgeschrieben:

a² + 2ab + b²

Die vierte Zeile des Pascalschen Dreiecks ist die binomische Formel zur Potenz „3“. Bei den weiteren Zeilen wird ebenso verfahren, um bei den jeweiligen binomischen Formeln einer bestimmten Potenz die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten und bei Bedarf in der Kombinatorik direkt ablesen zu können.