In der Mathematik stößt man auf den Begriff Binomialkoeffizient. Mit diesem kann die Anzahl der Möglichkeiten, eine bestimmte Teilmenge k aus der Gesamtmenge n zu entnehmen, bestimmt werden. Dabei werden weder Reihenfolge der Elementarereignisse aus k beachtet, noch werden diese nach Auswahl in n zurückgelegt.

Mit dem Binomialkoeffizienten kann man die Anzahl der möglichen Ergebnisse einer Lottoziehung ermitteln.

Mit dem Binomialkoeffizienten kann man die Anzahl der möglichen Ergebnisse einer Lottoziehung ermitteln.

Auf dem Taschenrechner erscheint das Symbol „nCRzur Berechnung des Binomialkoeffizienten. Da bei der üblichen Schreibweise der Term n über dem k auftritt, spricht man den Binomialkoeffizienten auch als „n über k“ oder „k aus n“ aus. Besonders häufig wird dieses Verfahren in der abzählenden Kombinatorik angewandt, um die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten zu berechnen. Beispielsweise beim Lotto erhält man so die Anzahl der möglichen Ziehergebnisse eines Durchgangs. In der Stochhastik wird der Binomialkoeffizient zum Errechnen der Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Zufallsexperimentes benötigt. Dabei gibt der Erwartungswert dieses Zufallsexperimentes (np) den auf lange Sicht am wahrscheinlichsten zu erwartenden Binomialkoeffizient an.

Bedingungen und Herleitung

Um den Binomialkoeffizienten berechnen zu können, müssen n und k eine positive Zahl darstellen und die Gesamtmenge n muss größer als oder gleich der Teilmenge k sein. Ist dies nicht der Fall, so ist der Binomialkoeffizient gleich „0“. Ist die Menge k eine leere Menge, also „0“, so ist der Binomialkoeffizient gleich „1“. Dies gilt auch, wenn n und k gleich große Werte definieren.
Werden alle Rechenregeln erfüllt, so kann für den Binomialkoeffizienten die Formel gelten:
„n über k“ entspricht der Menge n zur Fakultät dividiert durch die Fakultät von k multipliziert mit der Fakultät aus der Differenz aus n und k (n!: (k!*(n-k)!)).

Bezug zum Pascalschen Dreieck

Beim Pascalschen Dreieck wird eine bestimmte Zahl immer aus der Summe beider über ihr erscheinenden Zahlen errechnet. Die Ränder des Dreiecks tragen stets eine „1“. Diese Theorie kann auch auf den Binomialkoeffizient angewendet werden. Da „n über 0“ und „n über k=n“ jeweils die „1“ ergeben, gelten diese als Ränder des Dreiecks. Pro Stufe wird nun der Wert für n um eins erhöht. Von links nach rechts gelesen erhält k einen um eins höheren Wert. Somit trägt die Spitze des Dreiecks den Term „0 über 0“, die erste Reihe „1 über 0“ und „1 über 1“, die zweite Reihe „2 über 0“, „2 über 1“ und „2 über 2“, ect. Die Ergebnisse des bestimmten Binomialkoeffizient entsprechen denen des Pascalschen Dreiecks.