Der Kosinussatz ist, wie auch der Sinussatz und der Tangenzsatz, in der Mathematik eine elementare Funktion, die für die Dreiecksberechnung verwendet wird. Genauer gesagt stellt er die Verknüpfung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und dem Kosinus eines Winkels dar. Mir der Hilfe des Kosinussatzes kann man zum Beispiel die Länge einer fehlenden Seite berechnen, sofern man bereits zwei Seiten und einen Winkel des Dreiecks gegeben hat. Andererseits kann man auch einen fehlenden Winkel berechnen, wenn man alle drei Seiten eines Dreiecks gegeben hat.

Für a, b und c (die Seiten eines Dreiecks) und für den Winkel alpha, das ist der Winkel, der der Seite a gegenüber liegt bzw. sich zwischen den Seiten b und c befindet, gilt:

a²=b²+c²-2?b?c?cos (alpha)

Entsprechend gilt für a, b und c (die Seiten eines Dreiecks) und für den Winkel beta, das ist der Winkel, der der Seite b gegenüber liegt bzw. sich zwischen den Seiten a und c befindet:

b²=a²+c²-2?a?c?cos (beta)

Und für a, b und c (die Seiten eines Dreiecks) und für den Winkel gamma, das ist der Winkel, der der Seite c gegenüber liegt bzw. sich zwischen den Seiten a und b befindet, gilt dann:

c²=a²+b²-2?a?b?cos (gamma)

Bei den drei Sätzen spielt es jeweils keine Rolle, ob es sich um ein gleichschenkliges, rechtwinkliges oder gleichseitiges Dreieck handelt. Diese Kosinussätze stellen sozusagen die allgemeine Formel für alle Dreiecke dar.

Ein Spezialfall des Kosinussatzes ist der Satz des Pythagoras. Dieser wird gebraucht, wenn es um die Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks geht. Die Terme cos alpha bzw. cos beta oder cos gamma fallen weg, da der Kosinus eines Winkels von 90° gleich 0 ist. Also ist auch die Multiplikation mit 2ab gleich 0. Übrig bleibt der Satz:

a²+b²=c²

In der Realität wird der Kosinussatz verwendet, um Höhen oder Entfernungen zu berechnen. Zum Schluss soll noch ein einfaches Anwendungsbeispiel gegeben werden:

Gegeben sind die Seiten a=4cm und b=5cm wie der Winkel ?= 60°
Gesucht ist die Seitenlänge c des Dreiecks. Wir wenden also des Kosinussatz an:

c²=a²+b²+2?a?b?cos (gamma)
c²=16+25+40?cos (60)
c²=61

Die Wurzel aus 61 ist ungefähr 7,81.
Also ist die Seite c 7,81cm lang.