Was ist ein gleichseitiges Dreieck? Ein Dreieck ABC wird als gleichseitig bezeichnet, wenn alle drei Seiten gleich lang sind. Ein gleichseitiges Dreieck ist symmetrisch mit mehreren verschiedenen Symmetrieachsen. Da die Winkelsumme in jedem Dreieck 180 Grad beträgt, hat wegen der Symmetrie in einem gleichseitigen Dreieck jeder Winkel eine Größe von 60 Grad. Es kann also niemals ein rechtwinkliges Dreieck geben, das gleichseitig ist.

Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt wenigstens zwei gleich lange Seiten. Somit ist jedes gleichseitige Dreieck immer auch gleichschenklig. Allerdings gilt nicht die Umkehrung dieser Aussage. Eigenartigerweise kann ein gleichschenkliges Dreieck sehr wohl rechtwinklig sein. Der rechte Winkel sitzt dann zwischen den beiden gleichen Schenkeln und die gegenüber liegenden Basiswinkel sind jeweils 45 Grad groß.

Ein gleichseitiges Dreieck als Teil des Ganzen

Legt man sechs gleich große gleichseitige Dreiecke in einer Ebene aneinander, so kann man daraus ein regelmäßiges, ebenes Sechseck erzeugen. Sechs 60-Grad-Winkel ergänzen sich nämlich wunderbar zu einem Vollwinkel von 360 Grad. Auch ganz besondere räumliche Figuren lassen sich aus solchen Dreiecken bauen. Die einfachste Figur besteht aus einem gleichseitigen Dreieck, das die Grundfläche bildet und drei weiteren gleichgroßen Dreiecken, die diese Fläche zu einer Pyramide ergänzen. Das Ergebnis ist ein regelmäßiges Tetraeder. Benutzt man 8 gleichseitige Dreiecke, so kann man daraus ein regelmäßiges Oktaeder bauen.

Besondere Linien im Dreieck

In jedem Dreieck ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Inkreismittelpunkt, der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Umkreismittelpunkt und der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Das Besondere an einem gleichseitigen Dreieck ist, dass all diese Schnittpunkte wegen der besonderen Symmetrie mit dem Schnittpunkt der Höhen zusammenfallen. Dieser gemeinsame Schnittpunkt wird Mittelpunkt des Dreiecks genannt.

Sinussatz und Kosinussatz im Dreieck

In jedem Dreieck gelten sowohl der Sinus– als auch der Kosinussatz. Der Sinussatz ist im gleichseitigen Dreieck eine selbstverständliche Tatsache, sagt er doch aus, dass das Verhältnis von einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels im selben Dreieck immer gleich ist. Schließlich sind hier alle Seiten gleichlang und alle Winkel gleich groß. Anders verhält es sich beim Kosinussatz. Ein Spezialfall des Kosinussatzes liegt im rechtwinkligen Dreieck vor, dort entspricht er dem Satz des Pythagoras. Allgemein sagt der Kosinussatz: Das Quadrat über einer beliebigen Dreiecksseite ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Dreiecksseiten abzüglich dem doppelten Produkt aus diesen beiden Seiten mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.