Der Sinussatz ist quasi ein Analogon zur trigonometrischen Funktion des Sinus, die ja ‚eigentlich’ nur für rechtwinklige Dreiecke definiert ist. Analog dazu gibt es auch einen Kosinussatz, den man auch als ‚trigonometrischen Pythagoras’ bezeichnet, da er alle Dreiecksseiten eines beliebigen Dreiecks durch eine einzige Gleichung miteinander in Beziehung setzt. Der Sinussatz hingegen steht für mehrere Gleichungen, die unabhängig voneinander gelten, aber auch im Zusammenhang betrachtet werden können.

Die Aussage

Der Sinussatz in seiner üblicherweise zitierten Form lautet

sin ?/a = sin ?/b = sin ?/c

Er sagt also aus, dass in einem beliebigen Dreieck das Verhältnis vom Sinus eines Winkels zur Länge der ihm gegenüberliegenden Seite immer das gleiche ist. Somit können also z. B. fehlende Seitenlängen berechnet werden, wenn lediglich eine Seitenlänge bekannt ist und die Winkel des Dreiecks vorgegeben sind.
Durch Umstellen der Gleichungen können auch andere Aussagen formuliert werden, z. B. :

  • a/sin ? = b/sin ? = c/sin ?
  • sin ?/sin ? = a/b
  • c/a = sin?/sin ?

So kann der Sinussatz je nach den gegebenen und gesuchten Größen umgestellt werden.

Zusatzinformation

Das Verhältnis aus Dreiecksseite und Sinus des gegenüberliegenden Winkels (z. B. a/sin ?) ist ja nach Aussage des Sinussatzes immer gleich. Man kann dieses Verhältnis aber auch noch mit einer weiteren Größe, die im Zusammenhang mit dem Dreieck steht, in Verbindung bringen. Und zwar mit dem Radius des Umkreises ‚r’. Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft, sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Es gilt:

a/sin ? = b/sin ? = c/sin ? = 2r.

Herleitung des Sinussatz

Man beweist den Sinussatz, indem man sich der ‚originalen’ trigonometrischen Funktion des Sinus bedient und das betrachtete, beliebige Dreieck durch Einzeichnen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke aufteilt. Benutzt man die Höhe zur Seite c (hc), so werden die Seiten a und b jeweils zu den Hypotenusen zweier rechtwinkliger Dreiecke. Die für das rechtwinklige Dreieck definierte Sinusfunktion bestimmt den Sinuswert eines Winkels als Quotient aus der Länge der Gegenkathete (Seite, die dem Winkel gegenüberliegt) durch die Länge der Hypotenuse. Für die beiden erzeugten, rechtwinkligen Dreiecke erhält man also die Gleichungen sin ? = hc/b und sin ? = hc/a. Löst man beide Gleichungen nach hc auf und setzt dann die anderen Seiten gleich, erhält man b*sin ? = a*sin ?. Je nachdem, wie man weiter umformt erhält man dann die erste Aussage des Sinussatzes a/sin ? = b/sin ? oder sin ?/a = sin ?/b. Wählt man statt hc die Höhe zur Seite a oder b, erhält man entsprechend die anderen Verhältnisse.

Sonderfall

Ist im betrachteten Dreieck ein Winkel größer als 90°, so liegt eine Höhe nicht innerhalb des Dreiecks und erzeugt somit auch nicht zwei rechtwinklige Dreiecke. Trotzdem ist in diesem Fall der Sinussatz ebenfalls gültig, da er mithilfe eines weiteren rechtwinkligen Dreiecks hergeleitet werden kann, bei welchem man dann nicht einen Winkel des ursprünglichen Dreiecks betrachtet, sondern dessen Nebenwinkel. Da die Sinusfunktion eines Winkels und seines Nebenwinkels aber übereinstimmt (sin (180°-?)=sin ?), ändert dies nichts an den berechneten Werten.