Der Cotangens ist eine trigonometrische Winkelfunktion. In der Trigonometrie beschäftigt man sich mit Dreiecksberechnungen und benutzt dazu die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens. Man führt die Berechnungen grundsätzlich am rechtwinkligen Dreieck durch. Ist ein Dreieck mit einer anderen Form gegeben, behilft man sich durch das Einzeichnen von Hilfslinien, um ein rechtwinkliges Dreieck zu erzeugen.

Der Cotangens als Komplementwinkel des Tangens

Sei K der Einheitskreis mit einem eingezeichneten rechtwinkligen Dreieck vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie. Die drei Ecken des Dreiecks werden mit A, B und C bezeichnet. A wird die Ecke im Mittelpunkt des Kreises genannt, mit B wird der Eckpunkt gekennzeichnet, der auf der Kreislinie liegt und C ist die übrig gebliebene Ecke. In C befindet sich der rechte Winkel. Die dem Punkt C gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse c. Die Seite b führt vom Punkt A zum Punkt C und heißt Ankathete.

Die übrige Seite a bezeichnet man als Gegenkathete. Den Tangens und den Cotangens des Winkels Alpha im Punkt A kann man auch geometrisch darstellen. Dazu verlängert man auf dem Kreis die Hypotenuse bis auf die Linie des Kreisbogens. Dann verlängert man die Gegenkathete und die Ankathete, bis sich sie sich in einem Punkt erneut schneiden.

Die Länge der nun entstandenen Gegenkathete ist der Tangens des Winkels Alpha. Den Cotangens kann man ermitteln, indem man parallel zur Hypotenuse auf der Kreislinie eine Strecke einzeichnet. Ihre Länge wird von der durch die Tangensberechnung verlängerten Ankathete begrenzt und durch die im rechten Winkel zum Mittelpunkt gezogene Gegenkathete. Die Länge dieser Strecke entspricht nun dem Cotangens des Winkels Alpha. Außerdem kann man ihn auf verschiedene Arten rechnerisch ermitteln:

  • indem man die Gegenkathete durch die Ankathete teilt,
  • den Kosinus(x) durch den Sinus(x) teilt,
  • ihn dem Tangens von Pi/2 – x gleichsetzt und
  • ihn aus dem Tangens von (90° – Alpha) berechnet.

Aus dem letzten Punkt erfährt man auch, warum der Cotangens der Komplementwinkel des Tangens ist. Um den Komplementwinkel (90° – Alpha) zu erhalten, muss man vom Tangens zur Co-Funktion wechseln. Das Gleiche ist im Kreis durch die Streckenerzeugung und den daraus entstandenen Komplementwinkel geschehen.

Wichtige trigonometrische Sätze

Neben dem Sinussatz, der das Verhältnis von Ankathete und Gegenkathete berechnet, ist der Kosinussatz, der eine vereinfachte Form des Satzes des Pythagoras darstellt, und der Tangenssatz von Bedeutung. Mit ihnen kann man die Verhältnisse zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks bestimmen. Der Cotangenssatz entspricht der Kehrwertfunktion des Tangenssatzes.

Der Cotangens findet zusammen mit dem Tangens in der Physik zahlreiche praktische Anwendungen. Als hyperbolischer Tangens und hyperbolischer Cotangens werden sie zum Beispiel zur Berechnung des freien Falls unter Einbeziehung des Luftwiderstandes eingesetzt.