Der Kosinussatz wird genauso, wie der Sinussatz in der Trigonometrie genutzt, um Beziehungen zwischen den Längen der Seiten und den Größen der Winkel innerhalb eines beliebigen Dreiecks auszudrücken. Dabei gilt der Kosinussatz als trigonometrischer Pythagoras, weil er eine Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras darstellt, und ist komplexer als der Sinussatz.

Das Verhältnis von Sinus und Kosinus wird mittels Tangens und Cotangens ausgedrückt.

Herleitung

Der Kosinussatz beruht auf den Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck und dem Satz des Pythagoras.
Zuerst wird die Grundseite a durch ihre Höhe h(a) in die beiden Teile d und e getrennt. Jetzt haben wir 2 rechtwinklige Dreiecke bestehend aus den Seiten c, h(a), d und b, h(a), e.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

(1) h² = b²-e²
(2) c² = h²+d²

Laut binomischer Formel und Winkelfunktionen gelten weiterhin:

(3) d² = (a-e)² = a²-2ae-e²
(4) cos gamma = e/b (Ankathete/Hypotenuse) –> (5) e = b*cos gamma

Zusammengesetzt führt dies zu:

(6) c² = b²-e²+a²-2ae-e² = b²+a²-2ae
(7) c² = b²+a²-2ab*cos gamma

Die Formel (7) ist der Kosinussatz und gilt analog für alle weiteren Winkel- und Seitenvorgaben.

Rechtwinklige Dreiecke

In rechtwinkligen Dreiecken ist der Cosinus des 90°-Winkels 0. Deshalb fällt -2ab*cos gamma weg und der Kosinussatz vereinfacht sich zum Satz des Pythagoras:

(8) c² = a²+b²

Anwendungen

Mit Hilfe des Kosinussatzes können bei entsprechenden Vorgaben sowohl Winkelgrößen als auch Seitenlängen im Dreieck bestimmt werden.
Sind die Seiten a, b und c gegeben, so lässt sich der fehlende Winkel gamma in folgender Weise bestimmen:

(9) cos gamma = (a²+b²-c²)/2ab

Sind hingegen die Seiten b und c gegeben sowie gamma, berechnet sich die Seite a trotz der Nähe der Angaben zum Kosinussatz leichter über den Sinussatz:

(10) sin beta = b*sin gamma/c
(11) alpha = 180° – beta – gamma
(12) a = b+sin alpha/sin beta

Auch wenn zwei Winkel und eine Seite gegeben sind und der Gegenwinkel der größeren Seite, können über den Sinussatz und die Winkelsumme von 180° die fehlenden Stücke bestimmt werden, bevor der Kosinussatz in der Trigonometrie angewandt werden kann.