Der mathematische Bereich der Trigonometrie beschäftigt sich vorwiegend mit Dreiecken, dessen Kontruktion, sowie der Berechnung der Größen des Dreiecks. Dafür sind drei gegebene Werte notwendig, um alle weiteren gesuchten bestimmen zu können. Hierzu werden die trigonometrischen Funktionen Tangens, Sinus und Kosinus, manchmal zusätzlich Sekans und Cotangens benötigt.

All diese werden durch bestimmte Sätze bestimmt. So sind in der Trigonometrie der Sinussatz, Kosinussatz sowie Tangenssatz unentbehrlich.

Der Tangens in der Trigonometrie

In einem rechtwinkligem Dreieck wird der Tangens eines nicht rechtwinkligem Innenwinkels mit der Division von Gegenkathete und Ankathete definiert. Der Cotangens errechnet sich aus dessen Reziproke. Somit sind der Tangens und Cotangens besonders hilfreich, wenn neben des rechten Winkels zwei Seitenlängen gegeben sind. Durch die Umkehrfunktion des Tangens, dem Arcustangens, erhält man dann den gesuchten Winkel.

Gilt es Winkel, die größer als 90 Grad sind, zu bestimmen, benutzt man das Modell des Einheitskreises. In diesem steht jede trigonometrische Funktion für eine bestimmte Größe im Dreieck. Der Tangens wird hierbei aus der Division von Sinus und Kosinus des zu bestimmenden Winkels beschrieben, der Cotangens wiederrum aus dem Reziproke.

Somit beschreibt der Cotangens den Gegenwinkel des Tangens. Zeichnerisch lässt sich der Tanges in einem Einheitskreis als Tangente an den Kreis darstellen, die senkrecht auf der x-Koordinate, um die der Kreis konstruiert ist, steht und im Schnittpunkt aus der verlängerten Seitenlänge des anliegenden zu bestimmenden Winkels im Koordinatenursprung endet. Der Tangens ist also gleich der y-Koordinate des entsprechenden Dreiecks.

Wozu dient der Tangenssatz?

Der Tangenssatz setzt in einem beliebigem Dreieck alle drei Seiten mit der Hälfte aus, entweder der Summe oder der Differenz zweier Winkel in Bezug. Somit erhält man die Formel, dass die Summe zweier Seiten gleich der Hälfte des Tangens aus der Summe beider anliegenden Winkel ist.

Die Differenz beider Seiten kann durch die Hälfte des Tanges aus der Differenz beider Winkel beschrieben werden. Diese Gleichung erhält man durch Umformung des Sinussatzes mit der Definition, dass die Summe zweier Seiten gleich der Summe des Sinus aus beiden anliegenden Winkeln, beziehungsweise die Differenz dieser Seiten gleich der Differenz des Sinus beider Winkel ist.