Während die erste und zweite binomische Formel in ihrer bis auf ein Vorzeichen gleichen Form leicht zu merken und anzuwenden sind, tanzt die dritte binomische Formel ein wenig aus der Reihe – sie hat eine grundlegend andere Form und erschließt sich nicht auf den ersten Blick. Dennoch wird auch sie häufig benötigt und es ist von großem Vorteil, sie auswendig zu beherrschen.

Die dritte binomische Formel – was zu beachten ist

Es ist ein häufiger Fehler, die dritte binomische Formel mit den beiden ersten Pendants zu verwechseln, weil sie auf den ersten Blick ganz ähnlich aussieht, aber eigentlich eine ganz andere Aussage vertritt. In der allgemeinen Form lautet die dritte binomische Formel:

(a+b) * (a-b) = a² – b²

Die Verwechslungsgefahr des Endterms a²-b² mit der zweiten binomischen Formel in ihrer Ausgangsform (a-b)² ist groß, wenn man nur flüchtig liest und schnell rechnet – es lohnt sich daher, bei den binomischen Formeln die eigene Rechnung nochmals kritisch zu prüfen, bevor man weiterrechnet und sich später über eine simple Verwechslung ärgern muss. Die dritte binomische Formel wird wie die anderen auch über einfaches Ausmultiplizieren bewiesen:

(a+b) * (a-b) = a² + ba + a(-b) – b² = a² + ab – ab – b² = a² – b²

 

Die dritte binomische Formel unterscheidet sich deutlich von der ersten und zweiten

Die dritte binomische Formel unterscheidet sich deutlich von der ersten und zweiten

Diese dritte binomische Formel kommt äußerst häufig zum Einsatz und ist vor allem in komplexeren Beweisführungen ständig gefragt – doch leider wird sie durch ihre unscheinbare Endform a²-b² häufig übersehen. Wenn man die dritte binomische Formel dagegen erkennt und sie dann einzusetzen weiß, wenn es sinnvoll ist, kann man eine Menge Rechenwege sparen und Fehlerquellen vermeiden, die in diesen Umwegen liegen könnten.

Der „Exot“ ist dennoch äußerst hilfreich

Selbst wenn die dritte Formel ein wenig komplexer und merkwürdiger erscheint als die ersten beiden, ändert das nichts daran, dass sie eine der häufigsten Methoden überhaupt ist, um große Terme stark zu vereinfachen. Gerade bei der Bildung von Ableitungen in der Analysis werden häufig Polynome statt Produktketten von Termen benötigt, um sich nicht mit komplexeren Regeln wie der Produktregel oder – wenn integriert werden soll – mit der partiellen Integration herumschlagen zu müssen. Eine rechtzeitig erkannte und sicher ausgeführte Verkürzung über die dritte binomische Formel ist in vielen Fällen eine äußerst gute Alternative zur „sturen Durchführung“ diverser Multiplikationen mit dem Risiko, Klammer- oder Vorzeichenfehler zu begehen.