Das Umformen von Produkten mit Hilfe der binomischen Formeln ist eine elementare Funktion in der Algebra, also dem mathematischen Verfahren mit Variablen innerhalb von Gleichungen. Die sogenannten „Binomischen Formeln“ kennt man in Form von drei Gleichungen. Diese beschreiben Regeln zur Umformung von Produkten aus Binomen, sofern sie in der entsprechenden Form vorliegen.

Die Lösungswege für binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind wie folgt formuliert:

  • (a+b)² = a²+2ab+b²: Die erste binomische Formel oder auch „Plus-Formel“.
    Die Lösungswege für binomische Formeln kommen hier zur Anwendung, indem der geklammerte und quadrierte Ausdruck (Term) zunächst einmal als Produkt geschrieben werden kann.
    Aus (a + b)² wird also (a + b) (a + b).
    Jetzt können die Werte in den Klammern entsprechend ausmultipliziert werden.
    Aus (a + b) (a + b) wird a · a + a · b + b · a + b · b, was wiederum zu
    a² + 2ab + b² zusammengefasst werden kann.
  • (a-b)² = a²-2ab+b² : Die zweite binomische Formel oder auch „Minus-Formel“. Die Lösungswege für binomische Formeln kommen hier zur Anwendung, indem der geklammerte und quadrierte Term, so wie bei der ersten binomischen Formel, zunächst einmal als Produkt geschrieben wird.Aus (a – b)² wird also (a – b) (a – b).
    Jetzt können die Werte in den Klammern wieder entsprechend ausmultipliziert werden.
    Aus (a – b) (a – b) wird a · a – a · b – b · a + b · b, was wiederum zu
    a² – 2ab + b² zusammengefasst werden kann.
  • (a+b)(a-b) = a²-b² : Die dritte binomische Formel oder auch „Plus-Minus-Formel“. Die Lösungswege für binomische Formeln kommen hier zur Anwendung, indem die geklammerten Terme ausmultipliziert werden.Aus (a + b) (a – b) wird also a · a – a · b + b · a – b · b.
    Danach ist zu erkennen, dass der Teilausdruck -ab+ba weggelassen werden kann. Das wird deutlicher, wenn man ihn etwas anders schreibt: -(ab) + (ab). Übrig bleibt dann a · a – b · b oder a² – b²
Die binomische Formeln bieten vereinfachte Lösungswege

Die binomische Formeln bieten vereinfachte Lösungswege

Wie auf den ersten Blick zu erkennen ist, findet sich bei jeder der drei Formeln auf der linken Seite des Gleichheitszeichens ein mathematischer Ausdruck mit Klammern und auf der rechten Seite ein entsprechender Ausdruck ohne Klammern. Die Lösungswege für binomische Formeln ermöglichen es also, in diesen drei Spezialfällen – welche relativ häufig vorkommen – die Terme durch einfache Anwendung der entsprechenden Regeln zur Umformung wahlweise mit oder ohne Klammern auszudrücken, wodurch oft eine übergeordnete Zielsetzung, also die Lösung einer mathematischen Fragestellung, ermöglicht werden kann.

Die Lösungswege für binomische Formeln sind eine praktische Erleichterung

Die binomischen Formeln erleichtern den Umgang mit geklammerten Termen bzw. das Auflösen von Klammern in mathematischen Ausdrücken. Ein Beispiel für eine praktische Anwendung ist die „Quadratische Ergänzung“ bzw. die „p-q-Formel“, die es in der Analysis ermöglicht, durch Anwendung der binomischen Regeln die Nullstellen für eine Funktion zu ermitteln.