Die Analysis ist ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik. Das Wort Analysis entstammt dem Griechischen und bedeutet in etwa Auflösung. Die Grundlagen der Analysis wurden mit der Infinitesimalrechnung sowohl von Isaac Newton, als auch von Gottfried Wilhelm Leibniz eigentlich unabhängig voneinander bereits um 1670 geschaffen.

Wesentliche Inhalte der Analysis sind Folgen und Reihen einschließlich derer Grenzwertbetrachtungen und Funktionen, die hinsichtlich ihrer Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit diskutiert werden. In allen Naturwissenschaften und auch in den Ingenieurwissenschaften ist die Anwendung der Methoden der Analysis von tragender Bedeutung. Die Ausdehnung der Gesetzmäßigkeiten der Analysis auf den Raum der komplexen Zahlen führt zur so genannten Funktionentheorie.

Die Analysis ist eher eine Art Oberbegriff für mehrere, durchaus recht unterschiedliche Gebiete der Mathematik, so werden hier z. B. auch die gewöhnlichen und die partiellen Differentialgleichungen, die Funktionalanalysis, die Maß- und Integrationstheorie, die Variationsrechnung und die Vektoranalysis mit einbezogen.

Ein konkretes Anwendungsbeispiel

Wesentliche Inhalte der Analysis sind die Betrachtung von Grenzwerten und Funktionen.

Wesentliche Inhalte der Analysis sind die Betrachtung von Grenzwerten und Funktionen.

Um nun nicht vollends abzugleiten in hochtrabende, für die meisten Leser unverständliche mathematische Spitzfindigkeiten, soll die Methodik der Analysis an einem einfachen Beispiel, der Differentiation einer Funktion erläutert werden. Dabei handelt es sich um die Ermittlung der Steigung bzw. der Änderung einer Funktion. Diese Fragestellung ist deshalb interessant, denn an allen Stellen, wo eine Funktion keine Steigung hat, liegt entweder ein Maximum oder ein Minimum, in seltenen Fällen ein Sattelpunkt der Funktion vor, also ausgezeichnete Punkte von besonderer Bedeutung.

Wir gehen aus von zwei sehr dicht benachbarten Punkten einer Funktion: f(x) und f(x+h)
Dabei ist h ein sehr kleiner Schritt auf der X-Achse. Verbinden wir diese beiden Punkte auf der Funktion mit einer Geraden, so ist diese Gerade bereits recht ähnlich der Tangente, also der Steigung der Funktion am Ort x. Je kleiner man nun h werden lässt, desto mehr gleicht sich die Gerade tatsächlich der Tangente an die Funktion an. In der Mathematik spricht man hier von einem Grenzübergang „h gegen null“.

Die Steigung der Tangente ist gekennzeichnet und messbar durch den Tangens des Winkels (alpha) im Steigungsdreieck:

tan(alpha) = (f(x+h) – f(x)) / h

Nehmen wir als Funktions-Beispiel das einfachste Polynom, die Parabel f(x)=x^2

tan(alpha) = [(x+h)^2 – x^2] / h

Der erste Term ist ein Binom: (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2

Eingesetzt ergibt sich nun, da x^2 verschwindet:

tan(alpha) = [2xh + h^2] / h = 2x + h

Führt man nun den Grenzübergang aus und lässt h gegen null gehen, dann ist das Ergebnis der Differentiation:

tan(alpha) = df(x)/dx = 2x

Dies gilt an jeder Stelle x der Funktion f(x). In diesem Beispiel ist tan(alpha) bzw. alpha nur null an der Stelle x=0, dort existiert das Minimum der Funktion.

Tatsächlich ist die Differentiationsregel für alle Polynome sehr einfach: Man nehme den Exponenten von x als Faktor und reduziere den ursprünglichen Exponenten um 1.

Beispiel:

f(x) = 7x^3 + 3x^2 – 9x +17

df(x)/dx = 21x^2 + 6x -9

Anmerkung:
Die Konstante 17 in der Funktion f(x) kann man sich (formal) verknüpft denken mit x^0, was mathematisch als 1 definiert ist. Wenn dann beim Differenzieren der Exponent 0 als Faktor verwendet wird, muss dieser Term verschwinden.