Mit der Differentialrechnung gehört die Integralrechnung zu den wichtigsten Zweigen der mathematischen Analysis. Aufgrund von Problemen bei der Berechnung von Flächen und Volumen, entwickelte man eine Rechenform, die sich die Integrale zu Nutzen macht. Unter dem Begriff Integral wird sowohl das unbestimmte Integral wie auch das bestimmte zusammengefasst. Die Berechnung der einzelnen Integralen nennt man Integration.

Geschichte

Seit der frühen Antike experimentierten Mathematiker schon mit Flächenberechnungen.
Bereits im fünften Jahrhundert vor Christus entwickelte ein Mathematiker mit dem Namen Eudoxus von Knidos die sogenannte Exhaustionsmethode. Dabei stütze er seine Berechnungen auf die Ideen von Antiphon. Dieser war seines Zeichens ein Philosoph.

Die sogenanne Exhaustionsmethode stütz sich größtenteils darauf, dass man die Verhältnisse der Flächeninhalte mit Hilfe der darin enthaltenen, oder sich auch überdeckenden Polygonen abschätzen kann. Als Polygon werden diverse Vielecke bezeichnet. Mit dieser Methode gelang es ihm, sowohl die Flächeninhalte sowie auch die Volumina einiger eher einfachen Körper zu bestimmen.

Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich Flächeninhalte und Volumina von Körpern berechnen.

Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich Flächeninhalte und Volumina von Körpern berechnen.

Circa 200 Jahre vor Christus verbesserte der griechische Mathematiker Archimedes diese Methode. Ihm gelang es, den Flächeninhalt einer Fläche zu bestimmen, die von einem Paralellbogen und einer Sekante begrenzt wird. Der Grenzwertbegriff, wie er heute existiert war damals noch nicht bekannt. Das Ergebnis, das er damit erzielte, lässt sich sehr leicht in das in der heutigen Zeit bekannte Integral der quadratischen Funktion umwandeln. Im gleichen Zug gelang es ihm außerdem, das Verhältniss des Kreisumfanges zum Kreisdurchmesser relativ genau zu schätzen.

Diese Methode benutzte man bis in das Mittelalter hinein. Im 17 Jahrhundert stellte der italienische Mathematiker Bonaventura Cavalieri das nach ihm benannte Prinzip von Cavalieri auf. Laut dieser Regel haben zwei Körper das selbe Volumen, solange alle ihre paralellen und ebenen Schnitte den gleichen Flächeninhalt besitzen.

Gegen Ende dieses Jahrhunderts gelang es den Wissenschaftlern Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz genau die Kalküle zur mathematischen Differenzialrechnung zu entwickeln, die auch heute noch das Fundament der mathematischen Analysis bilden.

Anwendung

Nicht nur in der Mathematik spielt die Integralrechnung eine sehr wichtige Rolle. Auch bei anderen Wissenschaften wie die Chemie, die Physik, die Wirtschaft und die Biologie spielt die Integralrechnung eine zentrale Rolle.

Ein Anwendungsgebiet ist zum Beispiel die Berechnung der Oberfllächenstrukturen bei Autos. Ohne die Integralrechnung würde sich das als unmöglich gestalten. Auch bei dem Straßenbau ginge ohne sie nichts. Auch diverse andere Anwendungsgebiete wie Sportgeräte, Bau und Ausweitung von Stollen in Bergen und das Minimieren von Verlusten in der Wirtschaft könnten ohne die Integralrechnung nicht existieren. Auch bei der Forschung spielt sie eine zentrale Rolle und ohne die Funktionen der Integralrechnung wären viele Forschungsprojekte der heutigen Zeit mehr oder weniger unmöglich.