Als Funktion bezeichnet man in der Mathematik die Beziehung zweier Mengen, in der jedem Element aus einer abhängigen Menge (x-Wert), dem Funktionsargument ein Element aus einer unabhängigen Menge (y-Wert) zugeordnet wird, der sogenannte Funktionswert.

Alternativ kann man bei einer Funktion auch von einer Abbildung sprechen. Der Geltungsbereich für eine bestimmte Funktion bestimmt sich aus ihrer jeweiligen Definitionsmenge, z. B. nur Werte aus den natürlichen Zahlen. Funktionen lassen sich in grafisch in einem Koordinatensystem darstellen, man nennt dies dann den Graphen einer Funktion.

Notation

Funktionen können auf verschiedene Weise geschrieben werden: als Funktionsgleichung mit Definitionsmenge, als Funktionsvorschrift mit Definitionsmenge, als Wertetabelle für endliche oder abzählbar unendliche Definitionsmengen oder als Relation.

Als Funktion bezeichnet man in der Mathematik die Beziehung zweier Mengen.

Als Funktion bezeichnet man in der Mathematik die Beziehung zweier Mengen.

Hierzu einige Beispiele:

Gleichung

fx=x1+34x2 , x? N

Funktionsvorschrift

xâ?¦ x , x? N

Wertetabelle

x 1 4 7
y 1 8 14

Relation

f=1,1,4,8, 7,14,…

Eigenschaften

Eine Funktion hat vielfältige Eigenschaften, wovon die grundlegenden hier kurz beschrieben werden sollen.

Nullstellen werden diejenigen Stellen der Funktionen bezeichnet, deren Funktionswert 0 ergibt. Extremwerte hingegen beschreiben den jeweils maximalen Wert, den eine Funktion erreichen kann und den minimalen Wert einer Funktion.

Die Beschränktheit drückt aus, dass sich alle Funktionswerte in einem bestimmten Werteintervall befinden. Eine Funktion kann nach oben oder unten beschränkt sein oder aber sie ist überhaupt nicht beschränkt.

Funktionen können weiterhin durch ihr Wachstumsverhalten beschrieben werden. Als Monotonie bezeichnet man dabei das kontinuierliche Ansteigen (monoton wachsend) oder Abfallen (monoton fallend) der Funktionswerte. Natürlich gibt es auch Funktionen, die diese Eigenschaft nicht zeigen.

Die Stetigkeit einer Funktion sagt etwas über ihren Verlauf aus, also ob jedem Funktionsargument genau ein Funktionswert zugeordnet werden kann. Visuell kann man sich das so vorstellen, als ob man den Graphen einer Funktion mit einem Handstrich zeichnen könnte, ohne dass man den Stift einmal absetzen muss. Ist dies nicht der Fall und hat der Graph Sprünge oder gar Lücken, dann spricht man von unstetigen Funktionen.

Ist die Funktion keine Gerade (= lineare Funktion), so besitzt sie eine Krümmung. Man unterscheidet zwischen einer Rechtskrümmung und einer Linkskrümmung. Von einer Rechtskrümmung spricht man, wenn ihre Steigung mit zunehmenden x-Werten abnimmt, bei einer Linkskrümmung ist das Gegenteil der Fall. Der Punkt, an dem das Krümmungsverhalten einer Funktion wechselt, wird als Wendepunkt bezeichnet.

Einsatz von Funktionen in der Mathematik

Funktionen werden hauptsächlich im Bereich der Analysis verwendet. Dieses Fachgebiet befasst sich mit der Untersuchung insbesondere reeller Funktionen und deren Eigenschaften und Verhalten, insbesondere die Differenzierbarkeit. Mithilfe der Differenzialrechnung können Veränderungen in Funktonen unter gegeben Umständen betrachtet werden. In der Naturwissenschaft und den Wirtschaftswissenschaften wird dieses Verfahren häufig zur Untersuchung von konkreten Sachverhalten herangezogen, z. B. um Produktionskosten unter bestimmten Bedingungen miteinander zu vergleichen. Auch die Integralrechnung, also die Berechnung von Flächen, die ein Graph einschließt, findet in der Praxis häufige Anwendung, z. B. in der Physik oder Technik. Zusammengefasst werden die beiden Disziplinen der Differenzialrechnung und der Integralrechnung unter dem Begriff der Infinitesimalrechnung.