Zu einer der vielen Teildisziplinen innerhalb der Mathematik zählt die sogenannte Kombinatorik. Kategorisiert in das Untergebiet der diskreten Mathematik, beschäftigt sich dieser Teil entsprechend mit diskreten Strukturen und dem Umgang mit Permutationen sowie Kombinationen.

Definition

Die in der Kombinatorik verwendeten Strukturen können sich auf einer endlichen Basis befinden, aber auch als abzählbar unendlich gelten. Letzteres hat zur Folge, dass die Menge besagter Struktur, welche auch als A bezeichnet wird, quasi durchnummeriert werden kann. Innerhalb der Kombinatorik existiert eine fließende Abgrenzung zu anderen Untergebieten der diskreten Mathematik, sodass sich der Umgang mit manchen Aspekten überschneidet. Beispielsweise gehört die Wahrscheinlichkeitstheorie zu diesen Disziplinen.

Aufbau

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit diskreten Strukturen und dem Umgang mit Permutationen sowie Kombinationen.

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit diskreten Strukturen und dem Umgang mit Permutationen sowie Kombinationen.

Grundlegend für die Kombinatorik ist der Einsatz von Graphen, Matroide und Verbände. Als Matroid wird hierbei eine Struktur verstanden, welche einen bestimmten Aspekt der linearen Algebra allgemeiner anwendbar werden lässt, sodass die kombinatorische Optimierung sowie auch die Graphentheorie daraus ihren Nutzen ziehen können. Verbände dienen dazu, um Elemente aus einer Menge miteinander vergleichbar zu gestalten, und werden ferner als algebraische Strukturen angewandt. Zusätzlich sind Permutationen für die Kombinatorik unerlässlich.

Bei ihnen handelt es sich um das Resultat der Fragestellung, wie viele Optionen gegeben sind, um eine bestimmte Anzahl von Objekten in unterschiedlichen Reihenfolgen anzuordnen. Dem gegenüber stehen Kombinationen oder auch Variationen, welche von der Frage herrühren, wie viele bestimmte Objekte sich aus einer vorgegebenen Vielzahl von Objekten auswählen lassen. Als weiterer Zweig gilt des Weiteren die sogenannte Ramseytheorie. Diese arbeitet mit der Fragestellung, wie viele Objekte aus einer vorgegebenen Menge von Nöten sind, um eine bestimmte Struktur innerhalb der Teilmenge auftreten zu lassen oder um der Menge eine zuvor ausgewählte Eigenschaft zu verleihen.

Einteilung

Da die Abgrenzung zu anderen mathematischen Gebieten fließend vonstatten geht, existieren in der Kombinatorik einige Unterteilungen. Ausschlaggebend sind hierbei der Einsatz der einzelnen Methoden als auch Gegenständen. Je nachdem, mit was sich die mathematische Teildisziplin beschäftigt, kann sie nicht nur in das algebraische oder analytische, sondern auch in das geometrische sowie topologische Verständnis zugeordnet werden. Hinzu kommen eine probabilistische Variante und darüber hinaus eine Spieltheorie. Glücksspiele können, wie der Mathematiker Blaise Pascal es vorgeführt hat, durch den Einsatz der Wahrscheinlichkeitsanalyse genauer betrachten.

Historisches

Die ursprünglichen bzw. zentralen Aspekte dieses mathematischen Gebietes werden in der sogenannten abzählbaren Kombinatorik zusammengefasst. Für lange Zeit gab es diesen zentralen Kern jedoch nicht, sodass die mathematische Teildisziplin über Jahrhunderte keine bedeutende Rolle innehatte. Erst im 20. Jahrhundert änderte sich dies durch die Mühe von Schulen, welche von begabten Mathematikern bzw. führenden Wissenschaftlern geleitet wurden. Zu diesen Größen gehören der bereits verstorbene, italienisch-amerikanische Mathematiker Gian-Carlo Rota und der amerikanische Wissenschaftler Richard Peter Stanley.