Lineare Gleichungssysteme werden in der linearen Algebra berechnet. Es handelt sich dabei immer um Systeme mit linearen Gleichungen, die mehrere Unbekannte enthalten. Die Unbekannten werden auch Variable genannt.

Lineare Gleichungssysteme werden in der Mathematik gebraucht, um bei Zusammenhängen gesuchte Größen zu bestimmen. Lineare Gleichungssysteme können sich auf eine bestimmte Anzahl von Unbekannten beziehen, wie beispielsweise x1, x2, x3 und x4. Lineare Gleichungssysteme können sich aber auch auf eine unbestimmte Anzahl von Unbekannten beziehen. Man spricht dann von m Gleichungen und n Unbekannten.

Lineare Gleichungssysteme können homogen und inhomogen sein. Homegene lineare Gleichungssysteme beinhalten immer eine Lösung, bei inhomogenen linearen Gleichungssystemen ist es allerdings auch möglich, dass es keine Lösung gibt.

Um verständlich zu machen, wofür lineare Gleichungssysteme benutzt werden können, soll das folgende Beispiel dienen:

Das gemeinsame Alter von Mutter und Tochter ist 62 Jahre. x ist das Alter der Mutter und y das Alter der Tochter.

Lineare Gleichungssysteme werden in der Mathematik genutzt um Lösungen zu zusammenhängenden Variablen zu finden

Lineare Gleichungssysteme werden in der Mathematik genutzt um Lösungen zu zusammenhängenden Variablen zu finden

x + y = 62

Es ist außerdem noch bekannt, dass vor 6 Jahren die Mutter 4 x so alt gewesen ist wie damals die Tochter war. Also kommt hinzu:

x – 6 = 4 x (y – 6)

Im nächsten Schritt kommt man der Lösung bereits näher, indem auf die linke Seite die Variablen gebracht werden und auf die rechte Seite die Zahlen.

x + y = 62
x – 4y = (4 x -6 = -24 + 6)
das heißt aufgelöst dann:

x + y = 62
x – 4y = – 18

Um das Alter der Tochter zu ermitteln, muss zunächst x ausgeklammert werden.

x – 4y – (x + y) = – 18 – 62

Auflösung: Wenn man dann x – x rechnet, ist das x zunächst weg. – 4y – +y ergibt insgesamt – 5y. Auf der anderen Seite werden die beiden Minusergebnisse addiert. Die Formel sieht dann so aus:

– 5y = – 80

Die beiden Minus werden gegeneinander aufgehoben und das Alter der Tochter, die y entspricht, wird durch 5 geteilt. Die Tochter ist also 16 Jahre alt.

Um das Alter der Mutter zu ermitteln, muss dieses Ergebnis jetzt in die erste Gleichung wieder eingesetzt werden, das x wird also wieder dazu genommen, da x für Mutter steht.

x + 16 = 62

Die Gleichung wird nun wieder umgestellt in:

x = 62 – 16

x = 46

Die Mutter ist also 46 Jahre alt.

Oft werden lineare Gleichungssysteme nicht rechnerisch wie eben beschrieben, sondern graphisch gelöst.