Die Algebra bezeichnet einen Teilbereich der Mathematik. Abhängig vom Kontext kann der Begriff aber auch für bestimmte mathematische Strukturen, etwa Mengen, verwendet werden, mit denen man auf abstrakter Ebene hantiert.

Mengen und Operationen

Gegenstand der Algebra als grundlegendes Teilgebiet der Mathematik sind Strukturen und sogenannte mathematische Operationen, die auf diesen zugelassen werden. Diese Operationen stellen Relationen (Beziehungen) zwischen Mengen dar. Man kann etwa zwei Elemente aus zwei verschiedenen Mengen vergleichen und so die Operation „kleiner als“ einführen. Im Sinne der Schulmathematik sind uns viele solche Relationen vertraut, die Addition ist das bekannteste Beispiel.

Wichtig für das, was man generell unter „Rechnen“ versteht, ist was bezüglich einer Operation erlaubt ist und was nicht. So ist z.B. allgemein bekannt, dass Teilen durch die Null nicht definiert ist. Mathematisch gesehen bedeutet das, dass man die Null als Element der Menge aller Teiler auszuschließen und dies bei der Definition der Operation „geteilt durch“ zu berücksichtigen hat.

Weiterhin darf eine Operation nicht aus einer Menge herausführen. So kann man zwei Zahlen voneinander subtrahieren. Das Ergebnis soll wieder verwendbar sein für weitere Operationen. Dazu muss auch dieses in der bereits verwendeten erlaubten Menge an Zahlen liegen. Würde man für die Definition der Subtraktion also nur auf die natürlichen Zahlen (d.h. alle ganzen positiven Zahlen) zurückgreifen, ergäbe sich das Problem, dass „3 – 5“ nicht mehr innerhalb der verwendeten Menge läge. Denn „-2“ ist keine natürliche Zahl. Für die Operation „minus“ benötigt man also mindestens die Menge der ganzen Zahlen (alle positiven und negativen ganzen Zahlen)

Rechenoperationen und Gesetze

Da es sich bei den Forderungen für Rechenoperationen eher um Grundsätze (auch Axiome genannt) handelt, muss man nicht unbedingt von „Gesetzen“ sprechen. Statt „Distributivgesetz“ genügt der Begriff „Distributivität“ als Eigenschaft. So sagt man z.B. „Die Addition ist kommutativ„.

Folgende Axiome sind für die Algebra von besonderer Bedeutung:

  • Kommutativität: a + b = b + a
  • Assoziativität: a + (b + c) = (a + b) + c
  • Distributivität: a * (b + c) = (a * b) + (b * c)

Der Einfachheit halber wurden hier die bekannten Rechenoperationen Addition und Multiplikation verwendet. Im Sinne der Algebra gibt es jedoch unzählige Operationen, die man definieren und für welche man die o.a. Eigenschaften fordern kann. So ist beispielsweise auch die Multiplikation kommutativ (a*b = b*a).

Algebraische Gleichungen

Ein weiterer für die Algebra relevanter Begriff sind Gleichungen. Eine Gleichung verbindet verschiedene Elemente durch Relationen. Auch das „=“ ist eine solche Relation. Es zeigt die Gleichheit zweier Elemente, oder hier eben der beiden Seiten einer Gleichung an.

a² + b² = c²

ist eine algebraische Gleichung. In dieser Gleichung finden sich drei Unbekannte: a, b und c. Man kann auch Gleichungen aufstellen, die nur eine Unbekannte und Zahlen enthalten, etwa:

x – 2 = 3

Das Umstellen dieser Gleichung nach x ergibt: x = 5
Diese Lösung ist intuitiv, jedoch liegen ihr viele mathematische Forderungen zugrunde. So muss etwa gewährleistet sein, dass man auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 2 addieren darf. Weiterhin muss definiert sein, dass man sowohl von links als auch von rechts addieren kann, was im Übrigen durch die Kommutativität geschieht.

Anwendungen und Weiterführendes

Bei allen obigen Relationen und Rechnungen haben wir uns im Eindimensionalen bewegt. Man kann algebraische Operationen jedoch auf beliebige Dimensionen ausdehnen. Das bekannteste Beispiel für die Mehrdimensionalität algebraischer Rechnungen ist die Matrizenrechnung. Auch hier gelten verschiedene Forderungen für die Operationen. So ist etwa die Matrizenmultiplikation (hier mit „*“ bezeichnet) assoziativ, also

A * (B * C) = (A * B) * C,

jedoch nicht kommutativ, denn im Allgemeinen muss für zwei Matrizen A und B nicht A * B = B * A gelten.

Zusammenfassend lässt sich sagen: Mathematische Operationen, der Umgang mit Mengen und somit die gesamte Algebra ist ein umfassendes, wichtiges und auf strikte Definitionen angewiesenes Gebiet. Die Methoden der Algebra finden tägliche Anwendung im Leben eines jeden Menschen, ob es sich um einen Kassenzettel, die Steuererklärung oder eine Mathematikvorlesung handelt. Der Unterschied zwischen Schul- oder Alltagsmathematik und Algebra ist dabei die Genauigkeit der Definitionen.