Die Dimensionalität bzw. das Konzept der Dimension taucht in der Mathematik in vielen verschiedenen Fachgebieten und Teildisziplinen auf. Sie wird benutzt, um anzugeben, aus wie vielen veränderbaren Komponenten gewisse Elemente bestehen, bzw. wie viele Freiheitsgrade die Elemente haben.

Je nachdem, in welchem Grundmodell bzw. in was für einem mathematischen Raum man sich befindet, gibt es verschiedene Bedeutungen für Dimensionalität, z. B.

  • die Mächtigkeit der Basis eines Vektorraums
  • die Mächtigkeit der Orthonormalbasis eines Hilbertraums
  • die Dimension eines zu einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit homöomorphen Raumes
  • die maximale Länge einer Kette von ineinander enthaltenen Gebilden (wie Unterräumen oder Idealen)

Ganz grundlegend – Dimensionalität mithilfe einer Basis

Am bekanntesten und vielleicht auch am zugänglichsten ist aber die zuerst genannte Auffassung der Dimension als Anzahl der Elemente einer Basis eines Vektorraums, die vor allem in der Linearen Algebra oder Geometrie Verwendung findet. Hier kann man für die ersten vier Dimensionen (0 bis 3) ganz gut veranschaulichen, was Dimensionalität bedeutet: Die erste Dimension, die Dimension 0 wird Gegenständen ohne räumliche Ausdehnung zugeordnet, also Punkten. Gegenstände mit einer veränderlichen räumlichen Charakteristik sind Linien, z. B. die Zahlengerade. Eine Ebene hat zwei veränderliche Komponenten und somit Dimension 2. Das euklidische Koordinatensystem mit x- und y-Achse ist ein Beispiel dafür. Der euklidische dreidimensionale Raum schließlich besitzt pro Element drei veränderliche Komponenten (die man als Länge, Höhe und Breite interpretieren kann) und besitzt somit Dimension 3.

Unendliche Gedankenspiele

Höhere Dimensionen kann man sich räumlich nicht vorstellen, durch ideelle Charakteristika wie die Zeit kann man ihnen aber auch eine Bedeutung beimessen. In der Mathematik rechnet man in beliebig-dimensionalen Räumen, also auch in Räumen mit unendlicher Dimension. Die Elemente eines Vektorraumes werden Vektoren genannt und oft in Tupelschreibweise (z. B. (1,2,3)) angegeben. Die Anzahl der Koordinaten entspricht dann der Dimension des zugrundeliegenden Raumes. In einem höher-dimensionalen Raum findet man immer auch Elemente geringer Dimension (z. B. eine hat eine Gerade, die im dreidimensionalen Raum platziert ist (also aus Punkten besteht, die 3 Koordinaten haben), für sich genommen weiterhin Dimension 1).

Hin und Her – zwischen den Dimensionen springen

Eine Möglichkeit, Elemente unterschiedlicher Dimensionalität in Verbindung zu bringen, ist mit der Matrizenrechnung gegeben. Matrizen können Abbildungen zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension beschreiben. So kann man mit einer Matrix mit n vielen Zeilen und m vielen Spalten eine Abbildung von einem m-dimensionalen in einen n-dimensionalen Raum beschreiben. Mithilfe der Matrizenmultiplikation kann man mehrere Abbildungen miteinander kombinieren, wichtig ist dabei nur, dass die Dimension des Zielraumes der ersten Abbildung immer mit der Dimension des Definitionsraumes der zweiten Abbildung übereinstimmen muss. Außerdem müssen immer die Distributivgesetze eingehalten werden.