Die Wortkombination „unendlich lang“ beschreibt eine Hyperbel hervorragend. In der Literatur schließt die Verwendung dieses Wortpaares auf eine hyperbolische Übertreibung, während es in der Mathematik eine korrekte Konkretisierung der Eigenschaften einer hyperbolischen Funktion ist.

Die Hyperbel ist eine geometrische Kurve, die sich in allen vier Richtungen eines Koordinatensystems bis ins Unendliche erstreckt. Charakteristisch sind demnach ihre zwei Verästelungen, die sich bogenförmig gegenüber liegen. Von Bedeutung ist außerdem ihr Auftreten beim Schneiden eines kegelförmigen Körpers mit einer Ebene. Die Hyperbel gehört somit, neben den Parabeln, Kreisen und Ellipsen zu den Kurven, welche generell als sogenannter Kegelschnitt bezeichnet werden können. Die Eigenschaften dieser Funktion wurden erstmalig durch den Mathematiker Menaichmos im antiken Griechenland entdeckt und in ihrer Komplexität über die Jahrtausende genauer spezifiziert.

Die Funktion der Hyperbel definiert sich in der zweidimensionalen Zeichenebene anhand der absoluten Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten der Hauptachse, die als Brennpunkte ausgewiesen sind. Eine hyperbolische Funktion ist demnach die Menge aller Punkte, dessen absolute Differenz zu diesen Brennpunkten permanent 2a beträgt, wobei a die Länge der beiden Scheitelpunkte A und B zum Mittelpunkt der Hyperbel beschreibt. Ein hyperbolischer Verlauf kann über die Asymptoten linear approximiert werden, indem anhand des Schnittwinkels zur Hauptachse eine Geradengleichung erstellt wird. Die Tangens des Schnittwinkels alpha ermöglicht im Folgenden, die Steigung der beiden Geraden zu bestimmen.


Eine primäre Eigenschaft von gleichseitigen Hyperbeln ist die Orthogonalität der Asymptoten. Ein wesentliches Charakteristikum der Hyperbel ist ihre numerische Exzentrizität, welches eine Maßzahl für die Abweichung vom Kegelschnitt darstellt. Im Gegensatz zum reinen Kreis, der eine Exzentrizität von 0 aufweist, Ellipsen die einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen und Parabeln mit der Maßzahl 1 ist die numerische Exzentrizität einer Hyperbel stets größer als 1.

Die visuelle Veränderung aus dem Kreis entsteht im Detail durch eine längliche Streckung der geometrischen Form bis zu deren Implosion. Eine geeignete Form der Visualisierung ist über die sogenannte Normalhyperbel zu erzielen, deren Funktionswerte sich aus dem Quotienten von 1 bestimmen. Mit steigendem x nähert sich die Kurve entlang der Abszissenachse dem Ursprung und fällt zuvor entlang der Ordinatenachse ins Unendliche ab. Bei x-Werten größer als 0, spiegelt sich dieser Kurvenverlauf im ersten Quadranten, da diese Hyperbel eine Sprungstelle im Ursprung aufweist.