Die Parabel – speziell die Normalparabel

In der Mathematik stellt die Parabel eine Funktion zweiter Ordnung dar. Zweiter Ordnung deshalb, weil die höchste Potenz der Unbekannten x zwei ist. Wie auch der Kreis, die Hyperbel oder die Ellipse zählt die Parabel zu den Kegelschnitten.

Als Kegelschnitt ist gemeint, wenn ein Kegel von einer Ebene – welche parallel zu einer seiner Flächen des Mantels verläuft – geschnitten wird.
Daher kann die Parabel auch als eine Ellipse betrachtet werden, die ihre Brennpunkte im Unendlichen hat. Die Parabel zeichnen kann man ganz einfach in ein kartesisches Koordinatensystem.

Die Normalform der Parabel

Als Normalparabel bezeichnet man eine Parabel, die mit der Funktionsgleichung:
f(x) = x² beschrieben wird.

Zeichnet man diese Parabel in ein kartesisches Koordinatensystem, so wird man feststellen, dass sie symmetrisch zur Ordinate (y-Achse) verläuft. Dies kann auch durch den normalen mathematischen Beweis auf y-Achsensymmetrie durchgeführt werden. Denn bei der Normalparabel gilt eindeutig:
f(-x) = f(x)

Außerdem ist sie nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt genau im Koordinatenursprung (0/0).
Im Endeffekt ist die Normalparabel dennoch nur eine Sonderform der allgemeinen Parabelgleichung:
f(x) = a *x² + b*x + c

Wobei bei der Normalparabel die Parameter b und c gleich Null und der Parameter a gleich eins sind.

Die Nullstellenform einer Parabel

Als Nullstellenform der Parabel wird die Darstellung der Parabelgleichung mit Hilfe von Linearfaktoren bezeichnet. Das heißt die Parabelfunktion wird in einzelne Linearfaktoren zerlegt. Diese sind von der Form (x-x0) wobei x0 die jeweiligen Nullstellen der Funktion f(x) sind.
Zur Berechnung der Nullstellen muss nur die Gleichung f(x) = 0 gelöst werden. Die Lösung erfolgt entweder mit Hilfe der quadratischen Lösungsformel oder direkt durch Ausklammern.
Bei der Normalform der Parabel ist die Bestimmung der Nullstellen sehr einfach – hier gilt:

f(x) = 0
x² = 0
x0 = 0

Wobei die Nullstelle x0 = 0 hier eine so genannte doppelte Nullstelle ist. In der Linearfaktordarstellung würde sich somit wieder genau die Funktionsgleichung der Normalparabel ergeben:

f(x) = (x-0) * (x-0) = x * x = x²

Die Steigung an einer bestimmten Stelle der Parabel berechnen

Möchte man die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt der Parabel berechnen, so muss die Funktionsgleichung differenziert – umgangssprachlich auch abgleitet – werden. Bei einer Parabelgleichung ist die Differentation sehr einfach durchzuführen. Die Ableitung der Normalparabel würde lauten:
f‘(x) = 2*x

Mit Hilfe dieser Ableitungsfunktion kann nun an jeder beliebigen Stelle der Parabel die Steigung der jeweiligen Tangenten bestimmt werden. Bei zahlreichen technischen Problemen wird genau dieses Vorgehen benötigt, um ein Ergebnis zu erhalten. Zudem findet diese Methode Anwendung beim Zeit-Weg Gesetz. Geht man von der Beschleunigungsgleichung aus, so erhält man durch Differentation dieser die Geschwindigkeitsfunktion. Leitet man die Geschwindigkeitsfunktion ab, so erhält man die Wegfunktion.